Продукт за умножение. Умножение и неговите свойства. Умножение на многоцифрено число по едноцифрено число

Да умножиш едно цяло число по друго означава да повториш едно число толкова пъти, колкото другото съдържа единици. Да се ​​повтори числото означава да вземеш сбора му няколко пъти и да определиш сбора.

Определение за умножение

Умножението на цели числа е такава операция, при която трябва да вземете едно число като термини толкова пъти, колкото другото съдържа единици, и да намерите сумата от тези членове.

Умножаването на 7 по 3 означава да вземете три пъти сбора на числото 7 и да намерите сбора. Желаната сума е 21.

Умножението е събиране на равни членове.

Данните при умножение се наричат множител и множител, а желаното - работа.

В предложения пример данните ще бъдат множител 7, множител 3 и желания продукт 21.

Умножено. Умножаемото е числото, което се умножава или повтаря от сбора. Множителят изразява величината на равни членове.

Фактор. Множителят показва колко пъти множителят се повтаря от члена. Множителят показва броя на равните членове.

Работете. Продуктът е числото, получено от умножението. Това е сбор от равни условия.

Множителят и множителят заедно се наричат производители.

При умножение на цели числа едното число се увеличава толкова пъти, колкото другото съдържа единици.

знак за умножение. Операцията на умножение се обозначава със знака × (непряк кръст) или. (точка). Знакът за умножение се поставя между множителя и множителя.

Повторете числото 7 три пъти като сбор и намерете сумата означава 7 по 3. Вместо да пишете

напишете накратко със знака за умножение:

7 × 3 или 7 3

Умножението е съкратено събиране на равни членове.

Знак ( × ) е въведен от Oughtred (1631), а знакът. Кристиан Волф (1752).

Връзката между данните и желаното число се изразява в умножение

писмено:

7 × 3 = 21 или 7 3 = 21

устно:

седем по три е 21.

За да направите продукт от 21, трябва да повторите 7 три пъти

За да направите коефициент 3, трябва да повторите единицата три пъти

Следователно имаме друга дефиниция за умножение: Умножението е операция, при която произведението е съставено от умножението по точно същия начин, както умножителят е съставен от единица.

Основното свойство на произведението

Продуктът не се променя от промяна в поръчката на производителите.

Доказателство. Умножаването на 7 по 3 означава повторение на 7 три пъти. Заменяйки 7 със сумата от 7 единици и ги поставяйки вертикално, имаме:

По този начин, когато умножаваме две числа, можем да разглеждаме всеки от двата производителя като множител. На тази основа се наричат ​​производители факториили просто множители.

Най-често срещаната техника за умножение е да се добавят равни членове; но ако производителите са големи, този трик води до дълги изчисления, така че самото изчисление е подредено по различен начин.

Умножение на едноцифрени числа. Питагорова таблица

За да умножите две едноцифрени числа, трябва да повторите едно число с термините толкова пъти, колкото другото съдържа единици, и да намерите тяхната сума. Тъй като умножението на цели числа се свежда до умножение на едноцифрени числа, те съставят таблица на произведенията на всички едноцифрени числа по двойки. Такава таблица на всички произведения на едноцифрени числа по двойки се нарича таблица за умножение.

Изобретението му се приписва на гръцкия философ Питагор, на когото е наречен. Питагорова таблица. (Питагор е роден около 569 г. пр. н. е.).

За да съставите тази таблица, трябва да напишете първите 9 числа в хоризонтален ред:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

След това под този ред трябва да подпишете серия от числа, изразяващи произведението на тези числа с 2. Тази серия от числа ще се получи, когато добавим всяко число към себе си в първия ред. От втория ред числа преминаваме последователно към 3, 4 и т. н. Всеки следващ ред се получава от предишния, като към него се добавят числата от първия ред.

Продължавайки да правим това до ред 9, получаваме таблицата на Питагор в следната форма

За да намерите произведението на две едноцифрени числа от тази таблица, трябва да намерите един производител в първия хоризонтален ред, а другият в първата вертикална колона; тогава желаният продукт ще бъде в пресечната точка на съответната колона и ред. По този начин продуктът 6 × 7 = 42 е в пресечната точка на 6-ти ред и 7-ма колона. Произведението нула по число и число по нула винаги дава нула.

Тъй като произведението на число по 1 дава самото число и обръщането на реда на факторите не променя продукта, тогава всички различни произведения на две едноцифрени числа, на които трябва да обърнете внимание, са в следната таблица:

Продуктите на едноцифрените числа, които не се съдържат в тази таблица, се получават от данните, ако в тях се промени само редът на множителя; така че 9 x 4 = 4 x 9 = 36.

Умножение на многоцифрено число по едноцифрено число

Умножението на числото 8094 по 3 се обозначава чрез подписване на множителя под множителя, поставяне на знака за умножение отляво и начертаване на линия, за да се раздели произведението.

Умножаването на многоцифреното число 8094 по 3 означава намиране на сбора от три равни члена

следователно, за умножение, трябва да повторите всички редове на многоцифрено число три пъти, тоест да умножите по 3 единици, десетки, стотици и т.н. Събирането започва от едно, следователно, умножението също трябва да започне от едно, а след това преминаване от дясната ръка наляво към единици от по-висок ред.

В този случай ходът на изчисленията се изразява устно:

Започваме умножението с единици: 3 × 4 е 12, подписваме под единиците 2 и прилагаме единицата (1 десет) към произведението на следващия ред по коефициент (или го запомняме наум).

Умножаване на десетки: 3 × 9 е 27, да 1 в ума е 28; подписваме под десетки 8 и 2 наум.

Умножаване на стотици: Нулата, умножена по 3, дава нула, да, 2 в ума ще бъде 2, подписваме под стотици 2.

Умножаване на хиляди: 3 × 8 = 24, подписваме напълно 24, тъй като нямаме следните поръчки.

Това действие ще бъде изразено в писмена форма:

От предишния пример извеждаме следното правило. За да умножите многоцифрено число по едноцифрено число, трябва:

Подпишете умножителя под единиците на множителя, поставете знака за умножение отляво и начертайте линия.

Умножението започва с прости единици, след което, движейки се от дясната ръка наляво, те последователно умножават десетки, стотици, хиляди и т.н.

Ако по време на умножението произведението се изразява като едноцифрено число, то се подписва под умножената цифра на умножението.

Ако продуктът е изразен като двуцифрено число, тогава цифрата на единиците се подписва под същата колона, а цифрата на десетките се добавя към произведението от следващия ред чрез фактор.

Умножението продължава, докато се получи пълният продукт.

Умножаване на числата по 10, 100, 1000...

Умножаването на числата по 10 означава превръщане на прости единици в десетки, десетки в стотици и т.н., тоест увеличаване на реда на всички цифри с едно. Това се постига чрез добавяне на една нула вдясно. Да умножиш по 100 означава да увеличиш всички порядки на множителя с две единици, тоест да превърнеш единиците в стотици, десетки в хиляди и т.н.

Това се постига чрез приписване на две нули на числото.

Оттук заключаваме:

За да умножите цяло число по 10, 100, 1000 и обикновено по 1 с нули, трябва да присвоите толкова нули вдясно, колкото има в множителя.

Умножаването на числото 6035 по 1000 ще бъде изразено писмено:

Когато множителят е число, завършващо на нули, под множителя се подписват само значими цифри, а нулите на множителя се приписват отдясно.

За да умножите 2039 по 300, трябва да вземете числото 2029 по 300 пъти. Вземането на 300 члена е същото като вземането три пъти по 100 члена или 100 пъти по три члена. За да направите това, умножаваме числото по 3 и след това по 100 или първо умножаваме по 3 и след това приписваме две нули вдясно.

Ходът на изчислението ще бъде изразен писмено:

правило. За да умножите едно число по друго, представено от цифра с нули, първо трябва да умножите множителя по числото, изразено със значима цифра, и след това да зададете толкова нули, колкото има във фактора.

Умножение на многоцифрено число по многоцифрено число

За да умножите многоцифрено число 3029 по многоцифрено число 429 или да намерите произведението 3029 * 429, трябва да повторите 3029 члена 429 пъти и да намерите сумата. Да повториш 3029 термина 429 пъти означава да повториш термините му първо 9, след това 20 и накрая 400 пъти. Следователно, за да умножите 3029 по 429, трябва първо да умножите 3029 по 9, след това по 20 и накрая по 400 и да намерите сбора от тези три произведения.

Три произведения

Наречен частни работи.

Пълният продукт на 3029 × 429 е равен на сумата от три коефициенти:

3029 x 429 = 3029 x 9 + 3029 x 20 + 3029 x 400.

Нека намерим стойностите на тези три частични произведения.

Умножавайки 3029 по 9, намираме:

3029 ×9 27261 първа частна работа

Умножавайки 3029 по 20, намираме:

3029 × 20 60580 втора частна работа

Умножавайки 3026 по 400, намираме:

3029 ×400 1211600 трета частна работа

Като добавим тези частични продукти, получаваме продукта 3029 × 429:

Не е трудно да се види, че всички тези частични произведения са произведение на числото 3029 и едноцифрените числа 9, 2, 4, а една нула се приписва на второто произведение, което идва от умножение по десетки, а две нули на трети.

Нулите, приписани на частични продукти, се пропускат по време на умножението и процесът на изчисление се изразява в писмена форма:

В този случай, когато се умножават по 2 (цифрата на десетките на множителя), те подписват 8 под десетките или се отдръпват наляво с една цифра; когато се умножи по стотиците цифра 4, подпишете 6 в третата колона или отстъпете вляво с 2 цифри. По принцип всяка частна работа започва да се подписва от дясната страна на лявата по реда, към който принадлежи цифрата на множителя.

Търсим продукта от 3247 на 209, имаме:

Тук започваме да подписваме втория частичен продукт под третата колона, защото той изразява произведението на 3247 с 2, третата цифра на множителя.

Тук сме пропуснали само двете нули, които е трябвало да се появят във второто частно произведение, тъй като то изразява произведението на число с 2 стотици или с 200.

От казаното извеждаме правилото. За да умножите многоцифрено число по многоцифрено число,

трябва да подпишете множителя под множителя, така че числата от същия ред да са в една и съща вертикална колона, поставете знака за умножение отляво и начертайте линия.

Умножението започва с прости единици, след което те се движат от дясната ръка наляво, умножават серийния множител по цифрата от десетки, стотици и т.н. и образуват толкова частични произведения, колкото има значими цифри в множителя.

Единиците на всеки частен продукт се подписват под колоната, към която принадлежи цифрата на множителя.

Всички частни произведения, намерени по този начин, се събират и получават общо продукт.

За да умножите многоцифрено число с коефициент, завършващ на нули, трябва да изхвърлите нулите във фактора, да умножите по оставащото число и след това да добавите толкова нули към продукта, колкото има във фактора.

Пример. Намерете произведението на 342 на 2700.

Ако и множителят, и множителят завършват на нули, те се изхвърлят по време на умножението и след това към произведението се добавят толкова нули, колкото има и в двата производителя.

Пример. Изчислявайки произведението от 2700 на 35000, умножаваме 27 по 35

Присвоявайки пет нули на 945, получаваме желания продукт:

2700 × 35000 = 94500000.

Брой цифри на продукта. Броят на цифрите на продукта 3728 × 496 може да се определи по следния начин. Това произведение е повече от 3728 × 100 и по-малко от 3728 × 1000. Броят на цифрите на първия продукт 6 е ​​равен на броя на цифрите в множителя 3728 и в множителя 496 без единица. Броят на цифрите на второто произведение 7 е равен на броя на цифрите в множителя и в множителя. Даден продукт от 3728 × 496 не може да има по-малко от 6 цифри (броят на цифрите на продукта е 3728 × 100 и повече от 7 (броят на цифрите на продукта е 3728 × 1000).

Откъде правим извода: броят на цифрите на всяко произведение е равен на броя на цифрите в множителя и множителя, или равен на това число без единица.

Нашият продукт може да съдържа 7 или 6 цифри.

Градуси

Сред различните произведения специално внимание заслужават тези, в които продуцентите са равни. Например:

2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9.

квадратчета. Произведението на два равни множителя се нарича квадрат на число.

В нашите примери 4 е квадрат 2, 9 е квадрат 3.

Куба. Произведението на три равни множителя се нарича куб от число.

И така, в примерите 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, числото 8 е кубът на 2, 27 е кубът на 3.

В общи линии произведението на няколко равни множителя се наричастепен на брой . Степените получават имената си от броя на равни фактори.

Продуктите на два равни фактора или квадратчетаНаречен втора степен.

Продуктите на три равни фактора или кубчетаНаречен трета степен, и т.н.

Умножениее аритметична операция, при която първото число се повтаря като термин толкова пъти, колкото показва второто число.

Извиква се число, което се повтаря като сбор умножаващ се(умножава се), се извиква числото, което показва колко пъти да се повтори терминът множител. Извиква се числото, получено от умножението работа.

Например, да умножите естествено число 2 по естествено число 5 означава да намерите сбора от пет члена, всеки от които е равен на 2:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

В този пример намираме сумата чрез просто събиране. Но когато броят на еднакви термини е голям, намирането на сумата чрез събиране на всички термини става твърде досадно.

За да напишете умножение, използвайте знака × (кос кръст) или · (точка). Поставя се между множителя и множителя, като множителя се изписва отляво на знака за умножение, а множителя отдясно. Например записът 2 5 означава, че числото 2 се умножава по числото 5. Вдясно от записа за умножение поставете знака = (равно), след което се записва резултатът от умножението. По този начин пълната нотация на умножението изглежда така:

Този запис гласи следното: произведението на две и пет е равно на десет, или две по пет е равно на десет.

По този начин виждаме, че умножението е просто стенография за добавяне на подобни термини.

Проверка за умножение

За да проверите умножението, можете да разделите продукта на коефициент. Ако резултатът от деленето е число, равно на умножението, тогава умножението е правилно.

Помислете за израза:

където 4 е множител, 3 е множител, а 12 е произведението. Сега нека проверим умножението, като разделим произведението на коефициента.

Има аритметична операция, чрез която при дадени две числа, множител и множител, се намира произведение. Ако числото a е множител, а b е фактор, тогава продуктът се обозначава по следния начин: a b или просто ab. Енциклопедичен речник на Брокхаус и Ефрон

Умножение

Умножение- една от четирите основни операции, двоична математическа операция, при която единият аргумент се събира толкова пъти, колкото показва другият. В под умножениеразбират кратък запис на определения брой идентични термини. Например, записът означава "добавете три петици", т.е. Резултатът от умножението се нарича работа, а умножените числа - множителиили фактори. Първият фактор понякога се нарича "множител".

Записване

Умножете с кръст "×" или точка "∙". Вписвания

означават едно и също нещо. Знакът за умножение често се пропуска, освен ако не предизвиква объркване. Например, вместо обикновено да пишете.

Ако има много фактори, тогава някои от тях могат да бъдат заменени с точки. Например, произведението на цели числа от 1 до 100 може да бъде записано като .

В буквално обозначение символът на продукта също се използва: . Например, работата може да бъде написана накратко така:.

Свойства за умножение

Умножението има следните свойства:

Усвояването на таблицата за умножение в началните класове заема значително място. Започвайки от втори клас (ЕМЦ „Перспективно основно училище“) се изучава. От педагогическата практика е известно, че когато учениците запомнят таблицата за умножение, те развиват произволно внимание, наблюдателност, логическо мислене, съобразителност и математическа реч. Овладяването на действията на умножение допринася за развитието на такива процеси на познавателна дейност като анализ, синтез, сравнение, обобщение.

Програмата за начално училище изисква развиване на самостоятелност у по-малките ученици при овладяване на таблицата за умножение. Съгласно нормативните документи всеки ученик трябва да може да запише произволна колона от действия за умножение, илюстрирайки го със снимка, чертеж, диаграма, да обоснове всяка стъпка от своето действие, да провери правилността на изчисленията. Но на практика подобни дейности не се изпълняват напълно, което води до сериозни пропуски в знанията на учениците. за жалост , много учители смятат, че визуализацията трябва да присъства само в началния етап на урока и с развитието на абстрактното мислене на учениците тя губи своята стойност. На практика чертежите, диаграмите, чертежите рядко се използват като нагледно помагало в 2-3 клас. Междувременно визуализацията е необходима през целия курс на обучение, тъй като тя е важно средство за развитие на по-сложни форми на конкретно мислене и формиране на математически понятия. Чертежи, диаграми, чертежи насърчават по-малките ученици да мислят активно, да търсят най-рационалните начини в изчислителните действия и помагат не само за придобиване на знания.

1) Първият етап - съставянето и усвояването на таблици за умножение и деление е включено в съдържанието на курса. Табличните случаи на умножение се научават от учениците в процеса на изучаване на значението на умножението. Това ни позволява да предложим на учениците интересни смислени упражнения и задачи, чието изпълнение допринася за неволното запомняне на таблицата за умножение. Резултатите от работата по формиране на умения за таблично умножение са обобщени в общи уроци по темата "Умножение", където учениците получават задача, по време на която могат да проверят как всеки от тях е научил таблицата за умножение. От горното можем да заключим, че първо се формират уменията на таблицата за умножение. В същото време работата, свързана със съставянето и усвояването на таблицата за умножение, се разпределя във времето и е органично включена в съдържанието на курса. В процеса на усвояване на значението на деленето, правилата за връзката на компонентите и резултатите от умножението и делението се включват задачи за делене на числа, по време на които учениците използват таблицата за умножение и връзката между компонентите. Следните характеристики на този подход за формиране на умението за таблично умножение и деление:

2) съставянето и усвояването на таблицата за умножение започва със случаите на умножение на числото 9 (от по-трудно към по-лесно), което позволява на учениците не само да практикуват събиране и изваждане на двуцифрени и едноцифрени числа с прехода през десет, заменяйки произведението със сбора, но се фокусира и върху трудни за запомняне случаи на таблицата за умножение: 9 8, 9 7, 9 6, спрямо които е дадена настройката за запаметяване.

3) Като се има предвид, че не всички деца могат неволно да запомнят таблицата за умножение в процеса на изпълнение на учебните задачи, в учебника, в определена система, са дадени инсталации за запаметяване на три или четири таблични случая. В същото време настройката за запаметяване на таблицата е насочена към запаметяване на определени таблични случаи. 4) За организиране на самостоятелна работа на учениците се препоръчва да се записват всички случаи на таблично умножение на карта. Например, от едната страна е израз, а от другата страна е неговата стойност. По същия начин е необходимо да се направи с всички случаи на таблицата за деление, което ще помогне на учениците да действат при запомняне на случаите на умножение и деление на таблицата, както и да упражняват самоконтрол. В хода на изследването се запознахме и с подхода към интересуващата ни тема в образователната система на Л.В. Занков по учебника на И.И. Аргинская. Когато изучава таблично умножение и деление, авторът отделя само два етапа в работата на учениците:

Етап 1 - запознаване с теоретичната информация, включително реда на действие в изразите. Етап 2 - изучаване на таблиците за умножение и деление с помощта на таблицата на Питагор.

I.I. Аргинская разграничава два подхода - пряк и косвен, като им дава подробно описание, изтъквайки предимствата на непрекия. „Прякият подход се характеризира с наличието на готов модел за извършване на изучаваната операция и голям брой готови тренировъчни упражнения, по време на които учениците овладяват умението, основано на репродуктивна дейност, при което притежаването на умения действа като край. само по себе си на принципа „реши да се научиш да решаваш”. Репродуктивната дейност се характеризира с това, че ученикът получава готова информация, възприема я, разбира, осъзнава, запомня и след това сам я възпроизвежда. Основната цел на този вид дейност е формирането на ЗУН у учениците, развитието на вниманието и паметта. Основното предимство тук е много бързото постигане на желания резултат, поради което той е толкова разпространен и заема силна позиция в училищната практика. Има обаче и отрицателни страни. I.I. Аргинская смята директния подход за „неестествен, тъй като човек овладява техническата страна на всеки бизнес не като самоцел, а за решаване на проблеми, които са от значение за него. Преобладаването на репродуктивната дейност при формирането на изчислителни умения значително съдържа възможността за напредване на децата в развитието и в момента развитието на учениците е приоритетна задача на образованието във всяка система.

Ирен Илинична изтъква предимствата на индиректния подход, който използва в учебника „Математика. 3 клас“ както следва: „Най-висшата характеристика на индиректния подход към формиране на умения е липсата на готов модел за извършване на операцията, която трябва да се овладее, самостоятелното търсене на начини за нейното изпълнение от самите ученици, което незабавно включва децата в продуктивна творческа дейност. Този подход се характеризира с висока ефективност на процеса на формиране на уменията за таблично умножение и съответните случаи на деление чрез пълно осъзнаване на теоретичните и практически знания, повишаване на интереса към математиката. Недостатъкът е забележимо увеличение на времето, прекарано за постигане на резултата. Защо системата предпочита индиректния подход към формиране на изчислителни умения? Факт е, че почти всяка задача трябва да допринесе за напредъка на децата в развитието, а директният подход напълно изключва този компонент. За да се формира развитието на познавателните интереси у децата, е необходимо да се заинтересуват, което изисква активни форми и методи на преподаване, за да се събуди у децата активно възприемане на материала. Най-доброто усвояване и запомняне на материала от учениците се улеснява от различни нагледни средства, както и таблици, чертежи, диаграми, използвани във всеки урок.

Особен интерес предизвика статията на списание „Начално училище“, която разкрива съвсем различен подход към изучаването на табличното умножение и деление, който Stepnykh V.A. ни предлага.

При работа по тема се разграничават два етапа: 1. Запознаване с операциите на умножение и деление. Изследване на комутативното свойство на умножението. Установяване на връзка между резултатите и компонентите на умножение и деление, както и между самите действия. Въведение в специалните случаи на умножение и деление. Запознаване с модернизираната питагорова таблица. 2. Учене на таблично умножение и деление. Като учат умножение и деление с десетки, нула и единица, преди да научат таблиците за умножение и деление, учениците не трябва да питат: „Защо резултатите от умножението за 1 и 10 не са в таблицата за умножение?“ След разкриване на значението на умножението и деленето, учителят запознава учениците с Питагоровата таблица. Структурата на тази таблица е подобна на структурата на таблицата за събиране и изваждане в рамките на 20, която учениците изучаваха в 1 клас. Част от таблицата на Питагор е подчертана. Когато се отстрани, ще се получи разрязана питагорова таблица. Когато работят с пресечена таблица на Питагор, учениците често използват комутативния закон на умножението. Когато работите с таблица, числата трябва да се търсят според определена система: по редове (отгоре надолу); колони (отляво надясно). Това ви позволява да намерите резултатите от таблиците за умножение и деление с минимална инвестиция на време.

Определение. Умножението е операция, която води до намиране на сумата от еднакви членове. Умножетеномер ана брой бозначава намиране на сумата бчленове, всеки от които е равен на a.

Числата, които се умножават, се наричат ​​фактори (или множители), а резултатът от умножението се нарича продукт.

В умножениеПроизведението на естествените числа винаги е положително число. Ако един от факторите е 0 (нула), тогава произведението е 0. Ако произведението е нула, тогава поне един от факторите е 0.

Ако един от двата фактора е равен на 1 (един), тогава работаравно на втория фактор.

• Например:
• 5 * 6 * 8 * 0 = 0
• 132 * 1 = 132

Закони за умножение

асоциативно право

Правило. За да умножите произведението на два фактора по третия фактор, можете да умножите първия фактор по произведението на втория и третия фактор.

• Например:
• (7 * 6) * 5 = 7 * (6 * 5) = 210
• (a * b) * c = a * (b * c)

закон за изместване

Правило. Чрез пренареждане на факторите продуктът не се променя.

• Например:
• 7 * 6 * 5 = 5 * 6 * 7 = 210
• a * b * c = c * b * a

разпределително право

Правило. За да умножите число по сума, можете да умножите това число по всеки от термините и да добавите получените продукти.

• Например:
• 7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77
• a * (b + c) = ab + ac

Законът за разпределението се прилага и за изваждане.

• Например:
• 7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7

Законите на умножението се прилагат за произволен брой фактори в числови или буквални термини. Разпределителният закон на умножението се използва за изваждане на общия множител от скоби.

Правило. За да преобразувате сумата (разликата) в продукт, достатъчно е да поставите в скоби същия коефициент на термините и да запишете останалите фактори в скоби като сумата (разликата).