Свойства систем автоматического управления. Определение устойчивости систем автоматического управления промышленными роботами Понятия устойчивости системы автоматического управления критерии устойчивости

Следящая система (рис. 1.14, а) находится в состоянии равновесия, когда ее ошибка Это состояние может быть устойчивым или неустойчивым. Если после некоторого изменения задающего воздействия (поворота ведущего вала на угол система в результате затухающего переходного процесса (рис. 2.1, а, б) снова приходит в состояние равновесия то это состояние равновесия является устойчивым и система называется устойчивой. Когда после незначительного изменения задающего воздействия (отклонения системы от равновесного состояния) система не стремится в первоначальное состояние равновесия, а в ней возникают незатухающие колебания управляемой величины (рис. 2.1, в, г) или же изменение будет независимым от то состояние равновесия в данной системе является неустойчивым и система называется неустойчивой.

Наглядное представление об устойчивом и неустойчивом равновесных состояниях дает рассмотрение системы шар - поверхность. Шар, помещенный во впадине (рис. 3.1, а), находится в устойчивом равновесном состоянии, так как после его отклонения под влиянием внешнего воздействия он возвратится в свое первоначальное состояние. Система шар - поверхность является устойчивой. Шар, расположенный на верхней точке возвышенности (рис. , находится в неустойчивом равновесном положении: достаточно незначительного отклонения от

Рис. 3.1. К понятию устойчивости равновесных состояний системы шар-поверхность: а - устойчивое состояние; б - неустойчивое состояние; в - состояние, устойчивое при малых и неустойчивое при больших отклонениях.

этого состояния, и шар скатится по склону поверхности и не возвратится в исходное положение. Рассматриваемая система неустойчива.

Таким образом, под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться в прежнее состояние равновесия после вывода ее из этого состояния и прекращения изменения задающего или влияния возмущающего воздействия.

Только устойчивая система является работоспособной. Поэтому одной из основных задач теории автоматического управления является исследование устойчивости САУ. Основы строгой теории устойчивости динамических систем были разработаны акад. А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.). Понятия об устойчивости, вытекающие из этой работы, заключаются в следующем.

Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, то ее устойчивость не зависит от величины возмущения. Линейная система, устойчивая при малых возмущениях, будет устойчива и при больших. Нелинейные же системы могут быть устойчивы при малых возмущениях и неустойчивы при больших. Примером такой нелинейной системы являются стенные часы. Если неподвижному маятнику сообщить слабый толчок, то маятник, совершив несколько качаний, остановится, т. е. система устойчива при малых возмущениях. Если же маятнику сообщить более сильный толчок, то последний у заведенных часов начинает совершать незатухающие колебания. Следовательно, система неустойчива при больших возмущениях. Наглядное представление о нелинейных системах, устойчивых при малых и неустойчивых при больших возмущениях, дает рассмотрение шара, помещенного во впадине, расположенной на вершине выпуклого тела (рис. 3.1, в). При малых отклонениях, не превышающих края впадины, шар возвращается в исходное положение, т. е. система шар-поверхность устойчива. При отклонениях за край впадины шар не возвращается в исходное положение - система неустойчива. Поэтому для нелинейных систем устойчивость исследуется отдельно для случая малых возмущений, т. е. устойчивость в малом, и устойчивость при больших возмущениях, т. е. устойчивость в большом.

Согласно теореме Ляпунова, об устойчивости нелинейных систем при малых возмущениях можно судить по их линеаризированным уравнениям, достаточно точно описывающим поведение систем при малых отклонениях от состояния равновесия. Для определения устойчивости нелинейных систем при больших возмущениях необходимо пользоваться исходными нелинейными уравнениями динамики. В большинстве практических случаев системы, устойчивые при малых отклонениях, оказываются устойчивыми и при достаточно больших отклонениях, возможных в процессе эксплуатации, и поэтому вопрос об устойчивости этих систем может быть решен на основании исследования линеаризованных уравнений.

Проблема устойчивости обычно возникает в замкнутых САУ из-за влияния обратной связи. Поэтому в дальнейшем устойчивость исследуется на примерах замкнутых систем, хотя методы исследования устойчивости универсальны.

Устойчивостью называют свойство системы самостоятельно возвращаться в состояние равновесия после того, как внешнее входное воздействия вывело ее из состояния равновесия. Равновесием называют состояние системы, когда управляемая величина y (t ) постоянна, и все ее производные равны нулю. Исследование устойчивости является одной из основных задач в теории автоматического управления.

Как уже отмечалось, процесс управления определяется переходным процессом: законом изменения y (t ) после изменения x (t ). Переходной процесс САУ можно получить решением дифференциального уравнения САУ (1). Это решение может быть представлено суммой двух составляющих, вынужденной у в (t ) и переходной y п (t ):

y (t ) = у в (t ) + y п (t ),

где y в (t ) определяется свойствами системы и видом входного воздействия. САУ будет устойчивой, если с течением времени переходная составляющая будет стремиться к нулю:

Однозначно судить об устойчивости системы можно по виду ее переходного процесса: затухающий переходной процесс (сходящийся к некоторой постоянной) соответствует устойчивой системе, расходящийся (стремящийся в бесконечность) – неустойчивой.

ПРИМЕРЫ переходных процессов неустойчивых САУ.

При исследовании устойчивости САУ решают следующие задачи:

Определение, является ли САУ устойчивой при заданных параметрах;

Определение допустимых изменений параметров САУ без нарушения устойчивости;

Поиск параметров и/или структуры САУ, при которых она может стать устойчивой.

Теорема Ляпунова

Необходимое и достаточное условие устойчивости линейных САУ формулируется в теореме Ляпунова :

Если характеристическое уравнение САУ имеет все корни с отрицательной действительной частью, то система устойчива;

Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то САУ неустойчива.

Характеристическое уравнение САУ записывается по виду дифференциального уравнения или передаточной функции системы. Так, из уравнения (1) после преобразования Лапласа мы имеем (см. вывод (2)):

Полином в левой части равенства вида:

называется характеристическим . Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристическое уравнение системы или звена:

Корни характеристического уравнения, количество которых соответствует порядку характеристического уравнения САУ, могут быть действительными, комплексными и чисто мнимыми. Их можно представить в виде точек на комплексной плоскости величины р . Согласно теореме, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости. Примеродного из возможных распределений в комплексной плоскости корней характеристического уравнения устойчивой САУ 5-ого порядка показан на рис. 75.

В случае, если среди корней характеристического уравнения имеется нулевой корень или пара сопряженных чисто мнимых корней, расположенных на мнимой оси, система оказывается на границе устойчивости. Примерывозможных распределений в комплексной плоскости корней характеристического уравнения САУ 5-ого порядка, находящейся на границе устойчивости , приведены на рис. 77.

Системы, у которых имеется одна пара мнимых корней, могут совершать незатухающие колебания (автоколебания). Такие системы практически неработоспособны .

Рассмотрим примеры оценки устойчивости по теореме Ляпунова и связь результатов оценки с переходной характеристикой САУ.

Пусть САУ 3-го порядка имеет характеристическое уравнение вида:

На рис. 78 показан результат решения этого уравнения, полученный с использованием математического пакета Mathcad. Множество корней уравнения представлено в круглых скобках. Как видно, один из корней уравнения оказался отрицательным действительным числом –3,55, а два других – комплексными сопряженными числами с отрицательной действительной частью –0,525: (–0,525 – 0,657j ) и (–0,525 + 0,657j ).

Аналогично рассмотрим другую САУ 3-го порядка, с характеристическим уравнением вида:

На рис. 80 показан результат решения этого уравнения, полученный с использованием математического пакета Mathcad. Множество корней уравнения представлено в круглых скобках. Как видно, один из корней уравнения оказался отрицательным действительным числом –7,2, а два других – комплексными сопряженными числами с положительной действительной частью 1,31: (1,31 + 4,64j ) и (1,31 – 4,64j ), т.е. распределение корней в комплексной плоскости свидетельствует по теореме Ляпунова о неустойчивости САУ.

Критерии устойчивости САУ

Для оценки устойчивости необходимо оценить расположение корней характеристического уравнения системы относительно координатных осей комплексной плоскости. Эту оценку можно осуществить непосредственным решением характеристического уравнения. Но для определения устойчивости не обязательно знать значения корней характеристического уравнения, достаточно проверить, являются ли действительные части всех корней отрицательными.

Правила, позволяющие исследовать устойчивость системы без непосредственного нахождения корней характеристического уравнения, называются критериями устойчивости .

На ранней стадии развития теории управления актуальной была задача определения устойчивости полинома без вычисления его корней, т.к. характеристические уравнения высоких порядков трудно было решать «в ручную». Сейчас легко найти корни характеристического полинома с помощью компьютерных программ, однако такой подход не позволяет исследовать устойчивость теоретически, например, определять границы областей устойчивости отдельных параметров САУ.

С помощью критериев устойчивости не только устанавливается факт устойчивости систем, но и оценивается влияние тех или иных параметров и структурных изменений в системе на устойчивость. Математически все формы критериев устойчивости эквивалентны, т.к. они определяют условия, при которых корни характеристического уравнения попадают в левую полуплоскость комплексной системы координат .

6.2.1. Критерий Гурвица

Критерий Гурвица относится к алгебраическим критериям устойчивости, которые позволяют установить устойчива ли САУ или нет по результатам алгебраических действий над коэффициентами характеристического уравнения.

Бóльшая часть реальных САУ являются замкнутыми, т.е. имеют общую единичную обратную связь и, соответственно, передаточную функцию вида:

,

где W раз (р ) – передаточная функция разомкнутой САУ (без учета общей обратной связи).

Рассмотрим вывод характеристического уравнения замкнутой САУ, если дана передаточная функция соответствующей ей разомкнутой САУ. Согласно (17) характеристическое уравнение САУ получается приравниванием к нулю знаменателя ее передаточной функции, следовательно, для замкнутой системы запишем:

Однако, передаточная функция разомкнутой системы, согласно (2), имеет вид:

следовательно, характеристическое уравнение замкнутой системы может быть записано как:

Дробь равна нулю когда ее числитель равен нулю, следовательно, характеристическое уравнение замкнутой системы можно записать как сумму полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, прировняв полученное выражение к нулю:

Важно! Для применения критерия Гурвица используется специальная форма записи характеристического уравнения, отличающаяся от (16) обратной нумерацией коэффициентов полинома:

Критерий Гурвица использует матрицу коэффициентов характеристического уравнения размером n ´n , составленную следующим образом:

По главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a 1 и заканчивая a n ;

Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева на право так, чтобы чередовались строки с четными и нечетными индексами;

В случае отсутствия коэффициента, а также, если индекс меньше 0 или больше n , на его месте пишется 0.

В результате получается матрица, первая строка которой содержит коэффициенты уравнения (19) a 1 , a 3 , a 5 ,… (все с нечетными номерами) и нулями на месте отсутствующих элементов, вторая строка – коэффициенты a 0 , a 2 , a 4 ,… (все с четными номерами) и нулями на месте отсутствующих элементов. Третья строка получается сдвигом первой строки на одну позицию вправо, четвертая – сдвигом второй строки на одну позицию вправо и т.д. Например, для САУ 5-го порядка (n = 5) эта матрица имеет вид:

Критерий Гурвица определяет необходимое и достаточное условие устойчивости САУ следующим образом: все корни характеристического уравнения САУ имеют отрицательные действительные части, если при a 0 > 0 все n определителей Гурвица матрицы коэффициентов положительны .

Определители Гурвица вычисляются следующим образом:

При условии положительности всех коэффициентов характеристического уравнения достаточно проверить только n – 1первых определителей Гурвица, не вычисляя определитель для полной матрицы. При этом условии частные случаи критерия Гурвица для систем низких порядков получают, раскрывая определители матрицы коэффициентов. Так, в результате раскрытия определителей, для САУ первого и второго порядков необходимым и достаточным условием устойчивости является собственно положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Для САУ 3-го порядка – положительность всех коэффициентов и условие вида:

Определим с помощью критерия Гурвица, при каких значениях коэффициента статического преобразования регулятора k рассматриваемая система будет устойчивой. Запишем передаточную функцию разомкнутой САУ:

С использованием (18) запишем характеристическое уравнение замкнутой САУ:

Для того уравнения, согласно форме (19), коэффициенты, соответственно равны:

При положительности всех коэффициентов этого уравнения 3-го порядка необходимым условием устойчивости также является выполнение условия (20):

a 1 ×a 2 – a 0 ×a 3 > 0,

Т.о., рассматриваемая САУ будет устойчива, если значение коэффициента статического преобразования k удовлетворяет условию :

Рассмотрим примеры оценки устойчивости по критерию Гурвица исследованных ранее по теореме Ляпунова систем 3-го порядка (см. рис. 78 и рис. 80). Матрица коэффициентов Гурвица для САУ 3-го порядка имеет общий вид:

,

т.е. матрицы Гурвица для рассматриваемых САУ равны, соответственно:

и
.

Характеристические уравнения обеих САУ удовлетворяют критерию положительности всех коэффициентов, поэтому для оценки устойчивости по критерию Гурвица достаточно вычислить и проверить на положительность n – 1первых определителей Гурвица, т.е. для 3-го порядка – второй определитель. Результаты вычисления вторых определителей матрицы Гурвица для рассматриваемых систем (см. рис. 78 и рис. 80), полученные с использованием Mathcad, показаны на рис. 83–а и рис. 83–б соответственно. Как видно, результаты оценки устойчивости по Гурвицу совпадают с ранее полученными оценками по Ляпунову и результатами построения переходных характеристик рассматриваемых САУ (см. рис. 79 и рис. 81 соответственно) – положительный определитель соответствует устойчивой САУ, а отрицательный – неустойчивой.

Годограф по формуле (21) рассчитывают, изменяя частоту w от 0 до +¥, и строят в комплексной плоскости.

Критерий Михайлова определяет необходимое и достаточное условие устойчивости САУ следующим образом: САУ является устойчивой, если при изменении частоты от 0 до + ¥ годограф вектора Михайлова А(j w) начинается на положительной части действительной оси и, не обращаясь в ноль, поворачиваясь против часовой стрелки, проходит последовательно n квадрантов комплексной плоскости, где n – порядок характеристического полинома САУ.

У устойчивых систем годограф Михайлова имеет плавную спиралевидную форму и при w = 0 отсекает на действительной оси в положительном направлении отрезок, равный свободному члену характеристического уравнения а 0 .

По виду годографа Михайлова можно определить и граничное состояние устойчивости САУ: в случае границы устойчивости первого типа, т.е. наличия у характеристического уравнения САУ нулевого корня (см. рис. 77) отсутствует свободный член характеристического уравнения а 0 = 0 и годограф начинается из начала координат. При границе устойчивости второго типа, т.е. наличия у характеристического уравнения САУ пары чисто мнимых корней (см. рис. 77), годограф проходит через начало координат (обращается в ноль) при некотором ненулевом значении w, причем это значение и есть частота незатухающих колебаний системы .

Рассмотрим примеры оценки устойчивости по критерию Михайлова исследованных ранее по теореме Ляпунова систем 3-го порядка (см. рис. 78 и рис. 80). Формулы для расчета годографов Михайлова этих систем имеют вид, соответственно:

Годограф Михайлова для первой САУ показан на рис. 84. Как видно, его форма удовлетворяет всем условиям критерия:

Годограф начинается на положительной части действительной оси (отсекая при w = 0 на действительной оси отрезок, равный свободному члену характеристического уравнения а 0 = 3);

Не обращается в ноль;

С ростом значения частоты w, поворачиваясь против часовой стрелки, проходит последовательно первый, второй квадрант и в третьем квадранте, при w ® ¥, уходит в бесконечность.

Следует отметить, что для систем с высоким порядком характеристического уравнения (n = 5 и более) отсчет квадрантов при проверке условий критерия Михайлова после четвертого продолжается против часовой стрелки в том же порядке. Т.е., например, у устойчивой САУ 5-го порядка годограф должен последовательно проходить четыре квадранта, возвращаться в первый (для годографа – по порядку пятый) и в нем уходить в бесконечность. Пример годографа Михайлова для устойчивой САУ 5-го порядка с формулой для расчета годографа вида:

показан на рис. 86. Для удобства анализа начальный участок годографа, полученные при малых значениях частоты w, показан отдельным фрагментом. Видно, что годограф при w = 0 начинается на положительной части действительной оси и, последовательно, против часовой стрелки, проходя пять квадрантов, в пятом уходит в бесконечность.

Критерий Найквиста для амплитудно–фазовой характеристики (АФХ) формулируется следующим образом: замкнутая система будет устойчивой, если АФХ соответствующей разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывает точку с координатами [–1, j0].

Рассмотрим произвольную разомкнутую САУ, не содержащую интегрирующих звеньев. В этом случае значение АФХ для частоты w = 0 равно коэффициенту статического преобразования САУ:

W (j w) = W (j 0) = k .

При этом, если степень числителя передаточной функции меньше степени знаменателя, то график АФХ, начинаясь в точке с координатами (k , j 0) при изменения частоты от 0 до ¥ стремится к началу координат. На рис. 88–а показана АФХ устойчивой САУ – график не охватывает точку с координатами [–1, j 0], а на рис. 88–б – неустойчивой (график точку охватывает).

Если в составе САУ есть интегрирующие звенья, то АФХ при w = 0 обращается в бесконечность, т.е. график АФХ в этом случае начинается не на действительной оси, а приходит из бесконечности. В этом случае для оценки устойчивости по критерию Найквиста в контур включают не только кривую графика АФХ, но и часть окружности бесконечного радиуса, проводимой от действительной оси по часовой стрелке. Пример устойчивой САУ с АФХ такого вида показан на рис. 90–а , неустойчивой – на рис. 90–б .

Рассмотрим пример оценки устойчивости по критерию Найквиста для АФХ на примере замкнутой САУ, которой соответствует разомкнутая система с передаточной функцией вида:

Запишем по заданной W раз (p ) формулу расчета АФХ:

и, изменяя частоту w от 0 до +¥, построим график АФХ разомкнутой САУ с использованием математического пакета Mathcad (рис. 91). Для удобства анализа участок АФХ в области точки [–1, j 0], полученный для больших значений частоты w, показан на рис. 91 отдельным фрагментом. По фрагменту хорошо видно, что график охватывает точку [–1, j 0], следовательно замкнутая САУ является неустойчивой .

6.2.4. Критерий Найквиста для ЛАЧХ и ЛФЧХ

Критерий Найквиста для логарифмической амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик формулируется следующим образом: замкнутая система устойчива, если для характеристик соответствующей ей разомкнутой системы выполняются два условия:

- при частоте равной частоте среза САУ w с модуль фазочастотной характеристики меньше 180 градусов: < 180°;

- при частоте равной w p значение ЛАЧХ меньше нуля: L (w p) < 0.

Как следует из формулировки критерия, для проверки его условий по характеристикам разомкнутой САУ первоначально необходимо определить две частоты: частоту среза w с и частоту w p . После этого для найденных значений частот следует проверить выполнимость обоих условий критерия.

Частотой среза САУ называется частота, при которой ЛАЧХ системы пересекает ось частот, то есть L (w с ) = 0. Эта частота также называется частотой единичного усиления САУ, так как сигнал этой частоты на выходе САУ имеет ту же амплитуду, что и на входе: А вых = А вх . Для этого случая справедливо:

Важно! Не путайте понятия частоты среза отдельных типовых звеньев САУ и всей системы в целом. Определение частот среза типовых звеньев рассмотрено в графе «Примечания» Приложения 1.

Частотой w p САУ называется частота, при которой ФЧХ САУ равняется 180° со знаком «плюс» или со знаком «минус». Если ФЧХ несколько раз пересекает ординату ±180, то выполнение условия проверяется для крайней правой точки.

Важно! Рассматриваемые характеристики – частоты среза w с и частота w p – имеются не у всякой САУ. Если ЛАЧХ системы вообще не пересекает ось частот, то есть L (w) ¹ 0 ни при каких значениях w, то у такой системы нет частоты среза. Аналогично, если ФЧХ системы ни при каких значениях частоты не принимает значение ±180°, то данная САУ не характеризуется параметром w p . В этих случаях для оценки устойчивости следует выбрать другие критерии.

На рис. 92–а показано, как по графикам ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ определить частоты w с и w p .

ПРИМЕРЫ: 1) ЛАЧХ САУ без частоты среза w с; 2) ЛФЧХ САУ без частоты w p .

Проверим выполнимость условий критерия Найквиста для характеристик разомкнутой САУ, показанных на рис. 92–а . Определим графически величины L (w p) и j(w с ) как показано на рис. 92–б. Как видно, L (w p) < 0, а < 180°, т.е. оба условия критерия Найквиста выполняются, следовательно, замкнутая САУ, соответствующая рассматриваемой разомкнутой, является устойчивой . Из рис. 92–б также можно сделать вывод о том, что для устойчивости САУ по критерию Найквиста достаточно, чтобы выполнялось условие w с < w p .

Для характеристик разомкнутой САУ на рис. 93–а L (w p) > 0, а > 180°, т.е. оба условия критерия Найквиста не выполняются, следовательно, замкнутая САУ, соответствующая рассматриваемой разомкнутой, является неустойчивой . Из рис. 93–а также можно сделать вывод о том, что для неустойчивости САУ по критерию Найквиста достаточно, чтобы выполнялось условие w с > w p .

Для характеристик разомкнутой САУ, которой соответствует замкнутая система, находящаяся на границе устойчивости , L (w p) = 0 и = 180°, w с = w p (см. рис. 93–б ). У такой системы для сигнала с частотой w с , т.е. с частотой единичного усиления, фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного составляет –180°. Это говорит о том, что после прохождения САУ величина сигнала меняет знак, сохраняя абсолютную величину (энергию), то есть устанавливаются незатухающие колебания. АФХ такой САУ показана на рис. 89 .

Рассмотрим пример оценки устойчивости по критерию Найквиста для ЛАЧХ и ЛФЧХ на примере замкнутой САУ, которой соответствует разомкнутая система с передаточной функцией вида:

Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ, построенные с использованием математического пакета Mathcad по формулам (11) и (12), приведены на рис. 94. Как видно по рисунку, ЛАЧХ равна нулю при w с » 13,5 с -1 . ЛФЧХ на частоте w p » 5,7 с -1 меняет знак – после того, как j(w) достигает значения –180° (радиус-вектор, поворачиваясь по часовой стрелки, переходит в верхнюю полуплоскость) отсчет фазового сдвига продолжается в области положительных значений. При этом из двух условий критерия Найквиста формально нарушается только второе: значение ЛАЧХ на частоте среза не является отрицательным (L (w p) » 18 > 0). Первое условие ( < 180°) формально выполняется: » 130° < 180°. Однако следует понимать, что опережение по фазе в 130° соответствует, при отсчете по часовой стрелке без смены знака, отставанию на величину:

j(w с ) = –360° + 130° = –230°,

следовательно, замкнутая САУ неустойчива. К такому же выводу можно придти, сравнив величины w с и w p: w с > w p . Оценка устойчивости этой САУ по критерию Найквиста для АФХ, выполненная в конце раздела 6.2.3, также показала отсутствие устойчивости.

Выполним проверку оценки устойчивости по критериям Найквиста с использованием теоремы Ляпунова. По заданной запишем с использованием формулы (18) характеристическое уравнение замкнутой САУ:

Решение характеристического уравнения замкнутой САУ, полученное с использованием математического пакета Mathcad, имеет вид:

Множество корней уравнения представлено в круглых скобках. Как видно, один из корней уравнения оказался отрицательным действительным числом –17,74, а два других – комплексными сопряженными числами с положительной действительной частью 3,657. Эти корни равны, соответственно, (3,657+ 12,22j ) и (3,657– 12,22j ). Т.о. по теореме Ляпунова замкнутая САУ неустойчива , что согласуется с результатами оценки устойчивости, полученными с применением обоих критериев Найквиста.

Запасы устойчивости САУ

Технические характеристики устройств, входящих в состав САУ, меняются в процессе эксплуатации, и, следовательно, со временем изменяются и постоянные передаточной функции САУ. Следователь, недостаточно спроектировать просто устойчивую систему, нужно, чтобы она сохраняла устойчивость при некоторых изменениях параметров САУ в сравнении с расчетными, т.е. обладала запасами устойчивости . Запас определяет удаление системы от границы устойчивости.

Запасом устойчивости по амплитуде DL называется величина в децибелах, на которую нужно сместить вверх ЛАЧХ разомкнутой САУ так, чтобы привести соответствующую ей устойчивую замкнутую систему к границе устойчивости. На рис. 95 показано смещение вверх ЛАЧХ устойчивой САУ, исходные характеристики которой были рассмотрены в примере оценки устойчивости по критерию Найквиста (см. рис. 92–б ).

где А(w p) < 1 – модуль АФХ на частоте w p .

Зная DL , можно определить величину коэффициента статического преобразования разомкнутой САУ, при которой соответствующая ей замкнутая система окажется на границе устойчивости:

;

,

(23)

где k

Рассмотрим пример определения граничного значения коэффициента статического преобразования для разомкнутой САУ с передаточной функцией вида:

ЛАЧХ и ЛФЧХ этой САУ показаны на рис. 96. По графикам характеристик видно, что частота среза САУ составляет w с » 50 с -1 , а ЛФЧХ достигает значения –180° на частоте w p » 100 с -1 и после этого меняет знак. Запас устойчивости по амплитуде для этой САУ равен
, следовательно, по формуле (23):

.

При изменении коэффициента статического преобразования САУ до значения, равного k гр , ЛФЧХ САУ не изменится, а ЛАЧХ сместится вверх (см. рис. 96). Как видно, при найденном значении k гр = 425,975 частота среза разомкнутой САУ w с 1 становиться равной 100 с -1 , т.е. w с 1 = w p . А значит, в соответствии с критерием Найквиста для ЛАЧХ и ЛФЧХ, соответствующая рассматриваемой разомкнутой САУ замкнутая система действительно окажется на границе устойчивости.

На рис. 97 показано смещение вниз ЛФЧХ разомкнутой САУ, исходные характеристики которой были рассмотрены в примере оценки устойчивости по критерию Найквиста (см. рис. 92–б ). Как видно, смещение исходной ЛФЧХ параллельно самой себе вниз на величину Dj(w с ) приводит к смещению частоты w p разомкнутой САУ влево : для новой ЛФЧХ, показанной пунктиром, значение этой частоты w p1 = w с , что, по критерию Найквиста для ЛАЧХ и ЛФЧХ, свидетельствует о нахождении замкнутой системы на границе устойчивости. Из рис. 97 следует, что величину Dj(w с ) можно определить как:

Напомним, что w с это частота единичного усиления: сигнал с такой частотой на выходе САУ имеет ту же величину амплитуды, что и на входе. Следовательно, длина радиус-вектора, проведенного в точку АФХ, которая соответствует w с , равна 1. Эту точку можно найти на графике АФХ по пересечению с окружностью единичного радиуса (см. рис. 98).

Из рис. 98 хорошо видно, что если график АФХ разомкнутой САУ повернуть на величину угла, равную Dj(w с ), то график будет проходить через точку [–1, j 0], что приведет замкнутую систему к границе устойчивости по критерию Найквиста для АФХ.

Для той же АФХ рассмотрим определение запаса устойчивости по амплитуде. Частоте w p соответствует фазовый сдвиг ±180°, следовательно, точку АФХ, соответствующую этой частоте, можно найти по пересечению графика с действительной осью (рис. 99). Модуль АФХ, определяющий коэффициент ослабления амплитуды сигнала с такой частотой на выходе САУ, равен длине радиус-вектора, проведенного из начала координат в соответствующую точку АФХ. Для АФХ на рис. 99 эта величина равна А(w p), и по ней с использованием формулы (22) можно рассчитать DL .

где k – коэффициент статического преобразования исходной разомкнутой САУ .

Рассмотрим пример определения граничного значения коэффициента статического преобразования по АФХ разомкнутой САУ, для которой ранее расчет k гр был выполнен по логарифмическим характеристикам (см. начиная с формулы (23) и до рис. 96). АФХ этой САУ с исходным значением k = 107 показана на рис. 100. Для удобства анализа графика в области точки [–1, j 0] его фрагмент показан отдельно. Как видно, у САУ с исходным значением k модуль АФХ А(w p) » 0,25, следовательно, по формуле (25):

Найденное значение k гр = 428 с удовлетворительной точностью совпадает с результатом расчета по ЛАЧХ (k гр = 425,975). Погрешности в расчетах обусловлены приближенным определением по графикам DL и А(w p).

Как видно из рис. 100, при изменении коэффициента статического преобразования САУ до значения, равного k гр = 428, АФХ САУ пройдет через точку с координатами [–1, j 0], а значит, в соответствии с критерием Найквиста для АФХ, соответствующая рассматриваемой разомкнутой САУ замкнутая система действительно окажется на границе устойчивости.

Запасы устойчивости САУ по амплитуде DL и фазе Dj(w с ), наряду с показателями, определяемыми по переходной характеристике (см. раздел 2.3.2.), являются основными показателями качества управления.

Литература

1. Анхимюк, В.Л. Теория автоматического управления. / В.Л. Анхимюк, О.Ф. Опейко, Н.Н. Михеев; под ред. В.Л. Анхимюк. – Мн.: Дизайн ПРО, 2000. – 352 с.

2. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, В.П. Попов. – М.: Наука, 1975. – 766с.

3. Андрющенко, В.А. Теория систем автоматического управления / В.А. Андрющенко. – Л.: ЛГУ, 1990. – 256 с.

4. Клюев, А.С. Проектирование систем автоматизации технологических процессов: справочное пособие / А.С. Клюев, Б.В. Глазов и др. – М.: Энергоатомиздат, 1990. – 464 с.

5. Клюев, А.С. Техника чтения схем автоматического управления и технологического контроля / А.С. Клюев, Б.В. Глазов и др. – М.: Энергоатомиздат, 1991. – 432 с.

6. Федоров, Ю.Н. Справочник инженера по АСУ ТП: проектирование и разработка: учеб.-практ. пособие / Ю.Н. Федоров. – М.: Инфра-Инженерия, 2008. – 928 с.

7. Поляков, К.Ю. Теория автоматического управления для «чайников». К.Ю. Поляков // Преподавание, наука и жизнь [Электронный ресурс]. – 2009. – Режим доступа: http://kpolyakov.narod.ru/uni/teapot.htm. – Дата доступа: 01.06.2011.

8. Тихонов, А.И. Теория автоматического управления: курс лекций / А.И. Тихонов. – Иваново: ИГЭУ, 2002. – 188 с.

9. Яковлев, А.В. Система стабилизации частоты вращения электродвигателя: лабораторная работа по курсу «Технические средства САУ» /А.В. Яковлев. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 24 с.

10. Зайцев, Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования / Г.Ф. Зайцев. – К.: Выща шк., 1989. – 431 с.

11. Туманов, М.П. Теория управления. Теория линейных систем автоматического управления: учебное пособие / М.П. Туманов. – М.: МГИЭМ, 2005. – 82 с.

12. Кузьменко, Н.В. Конспект лекций по дисциплине «Автоматизация технологических процессов и производств»: учеб. пособие / Н.В. Кузьменко. – Ангарск: АГТА, 2005. – 77 с.

13. Беспалов, А.В. Динамический звенья. Временные характеристики. Учеб. пособие / А.В. Беспалов, Н.И. Харитонов и др. – М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2001. – 80 с.

14. Савин, М.М. Теория автоматического управления: учеб. пособие / М.М. Савин, В.С. Елсуков, О.Н. Пятина. – Ростов на Дону: Феникс, 2007. – 469 с.

15. Филлипс, Ч. Системы управления с обратной связью / Ч. Филлипс, Р. Харбор. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 616 с.

Федеральное Агентство Железнодорожного транспорта

Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Петербургский государственный университет путей сообщения

Кафедра «Электрическая тяга»

Якушев А.Я., Викулов И.П., Цаплин А.Е.

Влияние параметров САу

На устойчивость и качество регулирования

Методические указания к лабораторной работе

Санкт-Петербург

Цель работы - изучение основных параметров а также их соотношений, определяющих устойчивость и динамические свойства систем автоматического управления (САУ), характеризуемые видом переходных процессов изменения выходной переменной при возмущающих воздействиях.

Структурная схема САУ

Анализ динамических свойств системы автоматического управления обычно выполняют аналитически по структурной схеме или используя математическую модель системы. Оценку динамических свойств производят по реакции выходной переменной y(t) в виде переходной функции системына ступенчатое изменение задающего Dg×1(t) или возмущающего DZ×1(t) воздействий.

Структурной называют схему, составленную из операторных передаточных функций звеньев направленного действия, образующих систему автоматического управления. Основой для составления структурной схемы служит функциональная схема САУ (рис.1, а) и динамические характеристики составляющих ее элементов. Динамические характеристики функциональных элементов в структурной схеме представлены операторными передаточными функциями (рис. 1,б). Задающее воздействие g(t), возмущающее воздействие Z(t), выходная переменная y(t) на структурной схеме представлены операторными изображениями их конечных изменений, Dg(p), DZ(p), DY(р) относительноустановившихся уровней. Изменение выходной переменной DY(р) определяется операторными передаточными функциями замкнутой системы по задающему Dg(р) ивозмущающему DZ(р) воздействиям.

Динамические характеристики функциональных элементов САУ в большинстве случаев могут быть представлены апериодическими звеньями 1-го порядка, а также безынерционными усилительными звеньями. Характеристики более сложных функциональных элементов могут быть представлены двумя или несколькими звеньями.

В работе производится исследование переходных процессов автоматического регулирования при возмущающих воздействиях DZ=1(t) применительно к простейшей системе автоматического управления. На структурной схеме (рис. 1,б) функциональные элементы исследуемой системы: объект регулирования, исполнительное устройство, элемент обратной связи представлены апериодическими звеньями 1-го порядка. Динамические параметры функциональных элементов имеют обозначения: Т ор , Т иу , Т ос - постоянные времени, , , - коэффициенты усиления. В исследуемой системе применен регулятор с пропорциональным законом регулирования, характеризуемым коэффициентом усиления . Таким образом, анализ влияния параметров системы автоматического управления на её устойчивость и форму переходного процесса изменения выходной переменной производится применительно к системе 3-го порядка, составленной из усилительного звена и апериодических звеньев 1-го порядка.

Влияние параметров САУ на её устойчивость.

Устойчивостью системы автоматического управления называют способность системы при воздействиях на неё возмущающих факторов приходить с течением времени к равновесному состоянию. Различают устойчивость статическую и динамическую.

Статическая устойчивостьобеспечивается наличием отрицательной главной обратной связи и отсутствием местных положительных обратных связей в структурной схеме системы автоматического управления. Поэтому ее называют схемной устойчивостью. Аналитические условия обеспечения статической устойчивости определяется положительностью всех коэффициентов общего дифференциального или характеристического уравнений системы. Это условие называют необходимым условием устойчивости.

Характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение, в котором показатели степени независимой переменной соответствуют порядку производных выходной переменной общего дифференциального уравнения системы:

Коэффициенты слагаемых характеристического уравнения равны коэффициентам при производных выходной переменной общего дифференциального уравнения системы автоматического управления:

Характеристическое уравнение может быть получено из полинома знаменателя передаточной функции замкнутой системы при использовании для анализа структурной схемы САУ .

Для исследуемой системы автоматического управления, структурная схема которой показана на рис. 1,б, передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию DZ(р) имеет следующий вид:

(1)

В выражении (1) обозначен К 0 общий коэффициент усиления, равный произведению коэффициентов усиления всех звеньев, входящих в замкнутый контур структурной схемы САУ:

. (2)

Для получения характеристического уравнения системы надо приравнять нулю знаменатель передаточной функции (1):

В результате преобразования получено характеристическое уравнение системы автоматического управления, представляющее собой алгебраическое уравнение третьей степени:

Коэффициенты этого уравнения определяются следующими выражениями:

. (4)

Из соотношений формул (4) видно, что все коэффициенты характеристического уравнения (3) положительны, следовательно, обеспечено необходимое условие устойчивости, т.е. исследуемая система автоматического управления статически устойчива.

Для оценки динамической устойчивости разработаны способы, определяющие достаточные условия, называемые критериями устойчивости. Одним из них является алгебраический критерий Гурвица. Согласно критерию устойчивости Гурвица условие динамической устойчивости системы третьего порядка определяется соотношением коэффициентов характеристического уравнения (3) :

Из соотношения (5) следует, что система будет устойчива, если общий коэффициент усиления системы , входящий в выражение коэффициента а 3 характеристического уравнения системы, будет меньше величины:

.

После подстановки в это неравенство выражений для коэффициентов (4) характеристического уравнения и некоторых преобразований получено соотношение для общего коэффициента усиления К 0 устойчивой системы 3-го порядка:

. (6)

Критическим называют общий коэффициент усиления К 0кр, определяемый для системы 3-го порядка равенством (6), при котором система автоматического управления находится в граничном состоянии устойчивости. Из соотношения (6) следует, что при равенстве постоянных времени апериодических звеньев Т ор =Т иу =Т ос, определяется наименьшее значение критического коэффициента усиления системы 3- го порядка К 0кр = 8.

При изменении соотношений постоянных времени критический коэффициент усиления системы возрастает, например, при и , К 0кр = 16,8.

Работоспособность системы автоматического управления определяется не только устойчивостью, но и приемлемым характером переходного процесса выходной переменной при возмущающих воздействиях на систему. Практически величина общего коэффициента усиления К 0 , при которой характер и длительность переходного процесса будут удовлетворительными, должна быть примерно в 4…5раз меньше критического значения. Значит для приведённых в примерах соотношений постоянных времени общий коэффициент усиления реальной системы с удовлетворительным переходным процессом должен быть в пределах К 0 =2...4.

Система автоматического управления имеет инерционности различной физической природы, которые замедляют процессы. Единичный скачок, который обычно рассматривается в качестве тестового сигнала САУ (рисунок 1), может быть разложен в ряд:

Рисунок 1. Типовая структура САУ

Наличие инерционностей обуславливает сдвиг по фазе сигнала обратной связи
относительно входного, причем фазовый сдвиг зависит как от номера гармоники, так и от постоянных времени. Так для апериодического звена 1-го порядка фазовый сдвиг определяется:

. (2)

Рисунок 2. Фазовый сдвиг на выходе САУ

Поскольку на входе САУ действует бесконечный спектр гармонических составляющих, то среди них найдется такая гармоника, фазовый сдвиг которой равен
(рисунок 2), т.е. выходной сигнал будет в противофазе с входным.

Так как обратная связь отрицательная, то на входе системы он действует в фазе с входным (пунктир на рисунке 2), причем сигнал обратной связи действует в тот момент, когда
.

Пусть амплитуда гармонической составляющей, фазовый сдвиг которой
, равна 0.5, а коэффициент передачи системы по этой гармонике больше единице, например равен 2. Тогда на выходе сигнал после первого периода
, после второго периода
, после третьего
и т.д., т.е. процесс расходящийся (неустойчив) (рисунок 3).

Рисунок 3. Переходный процесс для гармоники
при k >1.

Если коэффициент передачи системы для гармоники, фазовый сдвиг которой
, меньше единицы, то процесс будет затухать (система устойчива).

Таким образом, замкнутая система будет устойчивой, если коэффициент передачи её для гармонической составляющей, фазовый сдвиг, которой равен
, меньше единицы.

Если коэффициент передачи для указанной гармоники равен единице, то система находится на границе устойчивости и выходная координата изменяется по гармоническому закону с постоянной амплитудой.

Для системы (рисунок 1) выходная координата определяется:

Причинами отклонения САУ от положения равновесия являются изменение входной величины
и возмущающих воздействий
.

Если
и
т.е. причины отклонения системы от положения равновесия отсутствуют, то
.

Если при отсутствии причин отклонения
,
знаменатель
, то это означает, что выходная координата
может принимать любые отличные от нуля значения, поскольку в этом случае имеем:

. (4)

Следовательно, в системе возникает незатухающие колебания при условии:

. (5)

Заметим, что это условие похоже на условие самовозбуждения усилителя с ООС Баркгаузена: самовозбуждение системы имеет место, когда усиливается столько напряжения или другой величины, сколько его (её) отводится по каналу обратной связи:

. (6)

1.2 Определение устойчивости систем автоматического управления

Любая система автоматического управления (САУ) должна быть работоспособной, т.е. нормально функционировать при воздействий возмущений различного рода. Работоспособность САУ определяется ее устойчивостью, которая является одной из основных динамиче­ских характеристик системы.

Устойчивость - свойство системы возвращаться в исходное положение равновесия или близкий к нему режим после окончания действия возмущения, вызвавшего отклонение системы от положения равновесия. Неустойчивая работа может возникнуть в любой САУ с обратной связью, при этом, система удаляется от положения равновесия.

Если известна функция веса системы ω(t ) , то линейная си­стема устойчива, если ω(t ) остается ограниченной при любых ограниченных по величине входных возмущениях:

, (7)

где с - const .

Следовательно, об устойчивости системы можно судить по общему решению линеаризованного однородного дифференциального уравнения замкнутой САУ, поскольку устойчивость не зависит от вида описываемого возмущения. Система устойчива, если переходная составляющая затухает во времени:

. (8)

Если
, то САУ неустойчива.

Если
не стремится ни к нулю, ни к бесконечности то система находится на границе устойчивости.

Поскольку общее решение дифференциального уравнения зависит от вида корней характеристического уравнения САУ, то определение устойчивости можно производить без непосредственного решения од­нородного дифференциального уравнения.

Если характеристическое уравнение линейного дифференциально­го уравнения с постоянными коэффициентами САУ имеет вид

то его решение, следующее:

, (10)

где c - постоянные интегрирования;

p t - корни характеристического уравнения.

Следовательно, САУ устойчива, если

(11)

Таким образом, для того, чтобы линейная САУ была устойчивая, необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней ха­рактеристического уравнения системы были отрицательны

R e p i < 0, (12)

а) для вещественных корней p i < 0,

, (12.а)

для вещественных корней p i > 0;

; (12.б)

б) для комплексных корней типа p i =α± jβ при α< 0

, (12.в)

для комплексных корней p i =α± jβ при α> 0

, (12.г)

Следовательно, САУ устойчива, если все корни характеристического уравнения (9) располагаются в левой полуплоскости комплекс­ной плоскости корней. Система находится на границе устойчивости, если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных кор­ней находятся на мнимой оси. Различают апериодическую и колебательную границы устойчивости.

Если хотя бы один корень характеристического уравнения САУ равен нулю, то система находится на апериодической границе устой­чивости. Характеристическое уравнение в этом случае (a n = 0) име­ет следующий вид:

Система в том случае устойчива по отношению к скорости изменения регулируемой величины, по отношению же к реализуемой величи­не система нейтральна (нейтрально устойчивая система).

Если в характеристическом уравнении САУ имеется хотя бы па­ра чисто мнимых корней, то система находится на границе колебательной устойчивости. В этом случае в системе имеют место незатухающие гармонические колебания.

Таким образом, для выяснения устойчивости САУ следует решить характеристическое уравнение, т.е. найти его корни. Отыскание кор­ней характеристического уравнения возможно, поскольку W 3 (p ) обыч­но представляет собой отношение двух алгебраических полиномов. Од­нако такой прямой метод для определения устойчивости оказывается весьма трудоемким, особенно при n > 3. Кроме того, для определения устойчивости необходимо знать только знаки корней и необязательно знать их значение, т.е. непосредственное решение характеристического уравнения дает “лишнюю информацию”. Поэтому для опре­деления устойчивости целесообразно иметь косвенные методы определения знаков корней характеристического уравнения, не решая его. Эти косвенные методы определения знаков корней характеристическо­го уравнения без непосредственного его решения - критерии устойчивости.

Понятие об устойчивости

Понятие устойчивости системы управления связано со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходное или близкое к нему установившееся состояние после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

Из данного определения следует, что устойчивость связана с характером переходных процессов и состоянием системы после окончания переходного процесса, т.е. является основной динамической характеристикой системы. Поэтому анализ устойчивости САУ является основной проблемой в теории автоматического управления.

В зависимости от характера переходного процесса различают три основных случая поведения системы после приложения возмущающего воздействия:

1) система не может восстановить равновесного состояния, значение управляемой переменной все больше отклоняется от заданного (рисунок 6.1, а); такой процесс называется расходящимся, а система – неустойчивой;

2) система возвращается к равновесному состоянию, значение управляемой переменной отличается от заданного на величину статической погрешности системы; такой переходной процесс будет сходящимся, а система - устойчивой (рисунок 6.1, б);

3) система характеризуется установившимся периодическим движением; такой процесс называется незатухающим колебательным, а система будет находится на границе асимптотической устойчивости (рисунок 6.1, в).

Рисунок 6.1 Поведение системы после приложения возмущающего воздействия

Рассмотрим, от чего зависит устойчивость системы и чем она определяется. Пусть динамика линейной системы описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

Решение такого линейного неоднородного уравнения в общем случае из двух составляющих:

, (6.2)

y уст (t) - частное решение неоднородного уравнения (6.1) с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса; такие режимы нами были рассмотрены в предыдущем параграфе;

y п (t) - общее решение однородного уравнения , которое описывает переходный процесс в системе, вызванный данным возмущением.

Очевидно, что система будет устойчива, если переходные процессы y п (t) , вызванные любыми возмущениями, будут затухающими, т.е. с течением времени y п (t) будет стремиться к нулю (рисунок 6.1, б).

Решение y п (t) однородного дифференциального уравнения имеет вид:

, (6.3)

C i - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями и возмущениями;

l i - корни характеристического уравнения:

Таким образом, переходный процесс y п (t) представляет собой сумму составляющих, число которых определяется числом корней l i характеристического уравнения (6.4).

В общем случае корни характеристического уравнения являются комплексными, образуя пары сопряженных корней:

где a i может быть как положительной, так и отрицательной величиной, причем корень вещественный, если b j =0 и мнимый, если a i =0 .

Каждая пара таких корней определяет составляющую переходного процесса, равную:

и определяются через и .

Нетрудно увидеть, что эта составляющая представляет собой синусоиду: с затухающими колебаниями, если a i <0 ; с расходящимися колебаниями, если a i >0 ; с незатухающими синусоидальными колебаниями при a i =0 .

Таким образом, условием затухания данной составляющей переходного процесса является отрицательность действительной части корня характеристического уравнения системы.

Если b=0 , то процесс определяется только вещественной частью корня a и является апериодическим. В общем случае, переходный процесс в системе состоит из колебательной и апериодической составляющих. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчива. Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит и всего переходного процесса в целом, является отрицательность действительной части всех корней характеристического уравнения системы, т.е. всех полюсов (нулей знаменателя) передаточной функции системы.

Наиболее наглядно вышеизложенное можно проиллюстрировать, если изобразить корни характеристического уравнения на комплексной плоскости (рисунок 6.2). В этом случае найденное выше условие устойчивости можно сформулировать так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения системы, т.е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости, или, говоря короче, все корни должны быть «левыми». Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.

Рисунок 6.2 Изображение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости

Итак, на первый взгляд задача исследования устойчивости не представляет затруднений, так как достаточно определить расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Однако определение корней характеристического уравнения, имеющего порядок выше третьего, сопряжено со значительными трудностями, в связи с чем и возникает проблема исследования устойчивости систем, динамические процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка.

Частичное решение этой проблемы найдено косвенным путем. Разработан ряд признаков, по которым можно судить о знаках действительных частей корней характеристического уравнения системы и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. При этом обычно встречаются две постановки задачи исследования устойчивости системы:

1)заданы все параметры системы и необходимо определить, устойчива ли система при этих значениях параметров;

2)необходимо определить значения некоторых параметров (при заданных остальных), при которых система устойчива.

Математическая формулировка условий, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения или какие-либо функции этих коэффициентов, чтобы система была устойчивой, называется критерием устойчивости.