Was kann man mit Vektoren machen? Vektoren für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik. Aktionen auf Vektoren. Auswählen eines Koordinatensystems

Lassen Sie uns direkt das Konzept eines Vektors sowie die Konzepte seiner Addition, Multiplikation mit einer Zahl und ihrer Gleichheit einführen.

Um die Definition eines geometrischen Vektors einzuführen, erinnern wir uns daran, was ein Segment ist. Lassen Sie uns die folgende Definition einführen.

Definition 1

Ein Segment ist ein Teil einer Linie, der zwei Grenzen in Form von Punkten hat.

Ein Segment kann zwei Richtungen haben. Um die Richtung anzugeben, nennen wir eine der Grenzen des Segments seinen Anfang und die andere Grenze sein Ende. Die Richtung wird vom Anfang bis zum Ende des Segments angegeben.

Definition 2

Ein Vektor oder gerichtetes Segment ist ein Segment, für das bekannt ist, welche der Grenzen des Segments als Anfang und welche als Ende betrachtet wird.

Bezeichnung: In zwei Buchstaben: $\overline(AB)$ - (wobei $A$ sein Anfang und $B$ sein Ende ist).

In einem kleinen Buchstaben: $\overline(a)$ (Abb. 1).

Lassen Sie uns einige weitere Konzepte im Zusammenhang mit dem Konzept eines Vektors vorstellen.

Um die Definition der Gleichheit zweier Vektoren einzuführen, müssen Sie zunächst Konzepte wie Kollinearität, Kodirektionalität, entgegengesetzte Richtung zweier Vektoren und die Länge des Vektors verstehen.

Definition 3

Wir nennen zwei Vektoren ungleich Null kollinear, wenn sie auf derselben Geraden oder auf zueinander parallelen Geraden liegen (Abb. 2).

Definition 4

Wir nennen zwei Vektoren ungleich Null kodirektional, wenn sie zwei Bedingungen erfüllen:

1. Diese Vektoren sind kollinear.
2. Wenn sie in eine Richtung gerichtet sind (Abb. 3).

Notation: $\overline(a)\overline(b)$

Definition 5

Wir nennen zwei Vektoren ungleich Null entgegengesetzt gerichtet, wenn sie zwei Bedingungen erfüllen:

1. Diese Vektoren sind kollinear.
2. Wenn sie in unterschiedliche Richtungen gerichtet sind (Abb. 4).

Notation: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definition 6

Die Länge des Vektors $\overline(a)$ ist die Länge des Segments $a$.

Notation: $|\overline(a)|$

Kommen wir zur Bestimmung der Gleichheit zweier Vektoren

Definition 7

Wir nennen zwei Vektoren gleich, wenn sie zwei Bedingungen erfüllen:

1. Sie sind gleichgerichtet;
2. Ihre Längen sind gleich (Abb. 5).

Es bleibt das Konzept der Addition von Vektoren sowie ihrer Multiplikation mit einer Zahl einzuführen.

Definition 8

Die Summe der Vektoren $\overline(a+b)$ ist der Vektor $\overline(c)=\overline(AC)$, der wie folgt aufgebaut ist: Von einem beliebigen Punkt A zeichnen wir $\overline(AB)= \overline(a) $, dann werden wir vom Punkt $B$ $\overline(BC)=\overline(b)$ beiseite legen und Punkt $A$ mit Punkt $C$ verbinden (Abb. 6).

Definition 9

Das Produkt des Vektors $\overline(a)$ mit $k∈R$ ist der Vektor $\overline(b)$, der die Bedingungen erfüllt:

1. $|\overline(b)|=|k||\overline(a)|$;
2. $\overline(a)\overline(b)$ für $k≥0$ und $\overline(a)↓\overline(b)$ für $k

Eigenschaften der Vektoraddition

Lassen Sie uns Additionseigenschaften für drei Vektoren $\overline(α)$, $\overline(β)$ und $\overline(γ)$ einführen:

Kommutativität der Vektoraddition:

$\overline(α)+\overline(β)=\overline(β)+\overline(α)$

Assoziativität dreier Vektoren durch Addition:

$(\overline(α)+\overline(β))+\overline(γ)=\overline(α)+(\overline(β)+\overline(γ))$

Nullvektoraddition:

$\overline(α)+\overline(0)=\overline(α)$

Addition entgegengesetzter Vektoren

$\overline(α)+(\overline(-α))=\overline(0)$

Alle diese Eigenschaften können leicht überprüft werden, indem solche Vektoren mithilfe von Definition 8 konstruiert werden. In den ersten beiden Fällen durch Vergleich der konstruierten Vektoren auf der rechten und linken Seite der Gleichheit und im dritten und vierten Fall durch die Konstruktion eines Vektors auf der linken Seite .

Eigenschaften der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

Lassen Sie uns die Eigenschaften der Multiplikation für zwei Vektoren $\overline(α)$, $\overline(β)$ und Zahlen $a$ und $b$ einführen.

1. $a(\overline(α)+\overline(β))=a\overline(α)+a\overline(β)$
2. $\overline(α)(a+b)=\overline(α)a+\overline(α)b$
3. $(ab)\overline(α)=a(b\overline(α))=b(a\overline(α))$
4. $1\cdot \overline(α)=\overline(α)$

Alle diese Eigenschaften lassen sich leicht anhand der Definitionen 8 und 9 überprüfen. In den ersten beiden durch Vergleich der konstruierten Vektoren von der rechten und linken Seite der Gleichheit, in der dritten durch Vergleich aller in der Gleichheit enthaltenen Vektoren und in der vierten durch Konstruieren eines Vektors auf der linken Seite.

Beispielaufgabe

Beispiel 1

Führen Sie eine Vektoraddition durch

$2\overline(AB)+(2\overline(BC)+3\overline(AC))$

Mit der Additionseigenschaft 2 erhalten wir:

$2\overline(AB)+(2\overline(BC)+3\overline(AC))=(2\overline(AB)+2\overline(BC))+3\overline(AC)$

Mit der Eigenschaft der Multiplikation mit der Zahl 1 erhalten wir:

$(2\overline(AB)+2\overline(BC))+3\overline(AC)=2(\overline(AB)+\overline(BC))+3\overline(AC)=2\overline( BC)+3\overline(AC)=5\overline(AC)$

Bevor wir zum Thema des Artikels übergehen, erinnern wir uns an die Grundkonzepte.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Vektor– ein gerades Liniensegment, das durch einen numerischen Wert und eine Richtung gekennzeichnet ist. Ein Vektor wird durch einen lateinischen Kleinbuchstaben mit einem Pfeil oben gekennzeichnet. Wenn bestimmte Grenzpunkte vorhanden sind, sieht die Vektorbezeichnung aus wie zwei lateinische Großbuchstaben (die die Grenzen des Vektors markieren) und darüber hinaus mit einem Pfeil.

Definition 2

Nullvektor– jeder Punkt auf der Ebene, der als Null mit einem Pfeil oben gekennzeichnet ist.

Definition 3

Vektorlänge– ein Wert größer oder gleich Null, der die Länge des Segments bestimmt, aus dem der Vektor besteht.

Definition 4

Kollineare Vektoren– auf einer Linie oder auf parallelen Linien liegen. Vektoren, die diese Bedingung nicht erfüllen, werden als nichtkollinear bezeichnet.

Eingabedaten: Vektoren ein → Und b →. Um eine Additionsoperation an ihnen durchzuführen, ist es notwendig, einen Vektor von einem beliebigen undefinierten Punkt aus zu zeichnen A B →, gleich dem Vektor ein →; aus dem resultierenden Punkt undefiniert – Vektor B C →, gleich dem Vektor b →. Durch die Verbindung der Punkte undefiniert und C erhalten wir ein Segment (Vektor) A C →, was die Summe der Originaldaten ist. Andernfalls wird das beschriebene Vektoradditionsschema aufgerufen Dreiecksregel.

Geometrisch gesehen sieht die Vektoraddition so aus:

Für nichtkollineare Vektoren:

Für kollineare (gleichgerichtete oder entgegengesetzte) Vektoren:

Wenn wir das oben beschriebene Schema als Grundlage nehmen, erhalten wir die Möglichkeit, die Operation des Addierens von Vektoren in einem Betrag von mehr als 2 durchzuführen: die Addition jedes nachfolgenden Vektors nacheinander.

Definition 6

Eingabedaten: Vektoren ein → , b → , c →, d → . Von einem beliebigen Punkt A in der Ebene aus muss ein Segment (Vektor) gezeichnet werden, das dem Vektor entspricht ein →; dann wird vom Ende des resultierenden Vektors ein dem Vektor gleicher Vektor abgelegt b →; Anschließend werden nachfolgende Vektoren nach demselben Prinzip angelegt. Der Endpunkt des letzten verschobenen Vektors ist Punkt B und das resultierende Segment (Vektor) A B →– die Summe aller Ausgangsdaten. Das beschriebene Schema zum Addieren mehrerer Vektoren wird auch aufgerufen Polygonregel .

Geometrisch sieht es so aus:

Definition 7

Ein separates Aktionsschema für Vektorsubtraktion Nein, weil im Wesentlichen eine Vektordifferenz ein → Und b → ist die Summe der Vektoren ein → Und - b → .

Um einen Vektor mit einer bestimmten Zahl k zu multiplizieren, müssen die folgenden Regeln berücksichtigt werden:
- wenn k > 1, dann führt diese Zahl dazu, dass der Vektor k-mal gedehnt wird;
- wenn 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 km;
- wenn k< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- wenn k = 1, dann bleibt der Vektor gleich;
- Wenn einer der Faktoren ein Nullvektor oder eine Zahl gleich Null ist, ist das Ergebnis der Multiplikation ein Nullvektor.

Ausgangsdaten:
1) Vektor ein → und Zahl k = 2;
2) Vektor b → und Zahl k = - 1 3 .

Geometrisch gesehen sieht das Ergebnis der Multiplikation nach den oben genannten Regeln so aus:

Die oben beschriebenen Operationen an Vektoren haben Eigenschaften, von denen einige offensichtlich sind, während andere geometrisch begründet werden können.

Eingabedaten: Vektoren ein → , b → , c → und beliebige reelle Zahlen λ und μ.

Die Eigenschaften der Kommutativität und Assoziativität ermöglichen die Addition von Vektoren in beliebiger Reihenfolge.

Die aufgeführten Eigenschaften der Operationen ermöglichen es Ihnen, die notwendigen Transformationen vektornumerischer Ausdrücke auf ähnliche Weise wie die üblichen numerischen durchzuführen. Schauen wir uns das anhand eines Beispiels an.

Beispiel 1

Aufgabe: Vereinfachen Sie den Ausdruck a → - 2 · (b → + 3 · a →)
Lösung
- Mit der zweiten Verteilungseigenschaft erhalten wir: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- Wir nutzen die assoziative Eigenschaft der Multiplikation, der Ausdruck nimmt die folgende Form an: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = a → - 2 · b → - 6 a →
- Mithilfe der Kommutativitätseigenschaft vertauschen wir die Terme: a → - 2 · b → - 6 · a → = a → - 6 · a → - 2 · b →
- Dann erhalten wir unter Verwendung der ersten Verteilungseigenschaft: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → Eine kurze Notation der Lösung sieht folgendermaßen aus: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
Antwort: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →

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Wie die Vektoraddition abläuft, ist den Schülern nicht immer klar. Kinder haben keine Ahnung, was sich hinter ihnen verbirgt. Man muss sich nur an die Regeln erinnern und nicht an das Wesentliche denken. Daher erfordern gerade die Prinzipien der Addition und Subtraktion von Vektorgrößen viel Wissen.

Die Addition von zwei oder mehr Vektoren ergibt immer einen weiteren. Darüber hinaus wird es immer dasselbe sein, unabhängig davon, wie es gefunden wird.

Am häufigsten wird in einem Schulgeometriekurs die Addition zweier Vektoren in Betracht gezogen. Es kann nach der Dreiecks- oder Parallelogrammregel durchgeführt werden. Diese Zeichnungen sehen anders aus, aber das Ergebnis der Aktion ist dasselbe.

Wie erfolgt die Addition nach der Dreiecksregel?

Es wird verwendet, wenn die Vektoren nicht kollinear sind. Das heißt, sie liegen weder auf derselben Geraden noch auf parallelen Geraden.

In diesem Fall muss der erste Vektor von einem beliebigen Punkt aus aufgetragen werden. Von seinem Ende aus ist es erforderlich, parallel und gleich dem zweiten zu zeichnen. Das Ergebnis ist ein Vektor, der am Anfang des ersten beginnt und am Ende des zweiten endet. Das Muster ähnelt einem Dreieck. Daher der Name der Regel.

Wenn die Vektoren kollinear sind, kann diese Regel auch angewendet werden. Nur die Zeichnung wird entlang einer Linie platziert.

Wie erfolgt die Addition mit der Parallelogrammregel?

Wieder mal? gilt nur für nichtkollineare Vektoren. Der Aufbau erfolgt nach einem anderen Prinzip. Obwohl der Anfang derselbe ist. Wir müssen den ersten Vektor beiseite legen. Und von Anfang an - der zweite. Vervollständigen Sie auf dieser Grundlage das Parallelogramm und zeichnen Sie eine Diagonale vom Anfang beider Vektoren. Das wird das Ergebnis sein. So erfolgt die Vektoraddition nach der Parallelogrammregel.

Bisher waren es zwei. Was aber, wenn es 3 oder 10 davon sind? Verwenden Sie die folgende Technik.

Wie und wann gilt die Polygonregel?

Wenn Sie die Addition von Vektoren durchführen müssen, deren Anzahl mehr als zwei beträgt, haben Sie keine Angst. Es reicht aus, sie alle nacheinander beiseite zu legen und den Anfang der Kette mit ihrem Ende zu verbinden. Dieser Vektor wird die erforderliche Menge sein.

Welche Eigenschaften gelten für Operationen mit Vektoren?

Über den Nullvektor. Was besagt, dass man das Original erhält, wenn man es hinzufügt.

Über den entgegengesetzten Vektor. Das heißt, etwa einer, der die entgegengesetzte Richtung und den gleichen Betrag hat. Ihre Summe wird Null sein.

Zur Kommutativität der Addition. Etwas, das seit der Grundschule bekannt ist. Eine Änderung der Positionen der Begriffe ändert nichts am Ergebnis. Mit anderen Worten: Es spielt keine Rolle, welcher Vektor zuerst verschoben wird. Die Antwort wird immer noch richtig und eindeutig sein.

Zur Assoziativität der Addition. Mit diesem Gesetz können Sie beliebige Vektoren aus einem Tripel paarweise addieren und ihnen einen dritten hinzufügen. Wenn Sie dies mit Symbolen schreiben, erhalten Sie Folgendes:

erste + (zweite + dritte) = zweite + (erste + dritte) = dritte + (erste + zweite).

Was ist über die Vektordifferenz bekannt?

Es gibt keine separate Subtraktionsoperation. Dies liegt daran, dass es sich im Wesentlichen um eine Addition handelt. Nur der zweite von ihnen erhält die entgegengesetzte Richtung. Und dann wird alles so gemacht, als ob das Hinzufügen von Vektoren in Betracht gezogen würde. Daher wird praktisch nicht über ihren Unterschied gesprochen.

Um die Arbeit bei der Subtraktion zu vereinfachen, wird die Dreiecksregel modifiziert. Nun muss (beim Subtrahieren) der zweite Vektor vom Anfang des ersten entfernt werden. Die Antwort ist diejenige, die den Endpunkt des Minuends mit demselben Punkt wie den Subtrahend verbindet. Sie können es jedoch wie zuvor beschrieben verschieben, indem Sie einfach die Richtung des zweiten ändern.

Wie finde ich die Summe und Differenz von Vektoren in Koordinaten?

Das Problem gibt die Koordinaten der Vektoren an und erfordert die Ermittlung ihrer Werte für das Endergebnis. In diesem Fall ist keine Konstruktion erforderlich. Das heißt, Sie können einfache Formeln verwenden, die die Regel zum Addieren von Vektoren beschreiben. Sie sehen so aus:

a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

a (x, y, z) -b (k, l, m) = c (x-k, y-l, z-m).

Es ist leicht zu erkennen, dass die Koordinaten je nach Aufgabenstellung lediglich addiert oder subtrahiert werden müssen.

Erstes Beispiel mit Lösung

Zustand. Gegeben sei ein Rechteck ABCD. Seine Seiten betragen 6 und 8 cm. Der Schnittpunkt der Diagonalen wird mit dem Buchstaben O bezeichnet. Es ist erforderlich, die Differenz zwischen den Vektoren AO und VO zu berechnen.

Lösung. Zuerst müssen Sie diese Vektoren zeichnen. Sie sind von den Eckpunkten des Rechtecks ​​​​zum Schnittpunkt der Diagonalen gerichtet.

Wenn Sie sich die Zeichnung genau ansehen, können Sie erkennen, dass die Vektoren bereits kombiniert sind, sodass der zweite von ihnen das Ende des ersten berührt. Es ist nur so, dass seine Richtung falsch ist. An diesem Punkt sollte begonnen werden. Dies ist der Fall, wenn die Vektoren addieren, das Problem jedoch die Subtraktion betrifft. Stoppen. Diese Aktion bedeutet, dass Sie den entgegengesetzt gerichteten Vektor hinzufügen müssen. Das bedeutet, dass VO durch OV ersetzt werden muss. Und es stellt sich heraus, dass die beiden Vektoren bereits nach der Dreiecksregel ein Seitenpaar gebildet haben. Das Ergebnis ihrer Addition, also die gewünschte Differenz, ist daher der Vektor AB.

Und es fällt mit der Seite des Rechtecks ​​zusammen. Um Ihre numerische Antwort aufzuschreiben, benötigen Sie Folgendes. Zeichnen Sie ein Rechteck der Länge nach, sodass die größere Seite horizontal ist. Beginnen Sie mit der Nummerierung der Eckpunkte von unten links und gehen Sie gegen den Uhrzeigersinn vor. Dann beträgt die Länge des Vektors AB 8 cm.

Antwort. Der Unterschied zwischen AO und VO beträgt 8 cm.

Zweites Beispiel und seine detaillierte Lösung

Zustand. Die Diagonalen der Raute ABCD betragen 12 und 16 cm. Der Schnittpunkt wird mit dem Buchstaben O bezeichnet. Berechnen Sie die Länge des Vektors, der sich aus der Differenz zwischen den Vektoren AO und VO ergibt.

Lösung. Die Bezeichnung der Eckpunkte der Raute sei dieselbe wie im vorherigen Problem. Ähnlich wie bei der Lösung des ersten Beispiels stellt sich heraus, dass die erforderliche Differenz gleich dem Vektor AB ist. Und seine Länge ist unbekannt. Die Lösung des Problems bestand darin, eine der Seiten der Raute zu berechnen.

Zu diesem Zweck müssen Sie das Dreieck ABO berücksichtigen. Es ist rechteckig, weil sich die Diagonalen einer Raute in einem Winkel von 90 Grad schneiden. Und seine Beine sind gleich der Hälfte der Diagonalen. Das heißt, 6 und 8 cm. Die im Problem gesuchte Seite fällt mit der Hypotenuse in diesem Dreieck zusammen.

Um es zu finden, benötigen Sie den Satz des Pythagoras. Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Zahlen 6 2 und 8 2. Nach der Quadrierung ergeben sich folgende Werte: 36 und 64. Ihre Summe beträgt 100. Daraus folgt, dass die Hypotenuse 10 cm beträgt.

Antwort. Der Unterschied zwischen den Vektoren AO und VO beträgt 10 cm.

Drittes Beispiel mit detaillierter Lösung

Zustand. Berechnen Sie die Differenz und Summe zweier Vektoren. Ihre Koordinaten sind bekannt: Der erste hat 1 und 2, der zweite hat 4 und 8.

Lösung. Um die Summe zu ermitteln, müssen Sie die ersten und zweiten Koordinaten paarweise addieren. Das Ergebnis sind die Zahlen 5 und 10. Die Antwort ist ein Vektor mit den Koordinaten (5; 10).

Für die Differenz müssen Sie die Koordinaten subtrahieren. Nach Durchführung dieser Aktion werden die Zahlen -3 und -6 erhalten. Dies sind die Koordinaten des gewünschten Vektors.

Antwort. Die Summe der Vektoren beträgt (5; 10), ihre Differenz beträgt (-3; -6).

Viertes Beispiel

Zustand. Die Länge des Vektors AB beträgt 6 cm, BC beträgt 8 cm. Der zweite wird vom Ende des ersten in einem Winkel von 90 Grad abgelegt. Berechnen Sie: a) den Unterschied zwischen den Modulen der Vektoren VA und BC und den Modul der Differenz zwischen VA und BC; b) die Summe gleicher Module und das Modul der Summe.

Lösung: a) Die Längen der Vektoren sind bereits in der Aufgabe angegeben. Daher ist die Berechnung ihrer Differenz nicht schwierig. 6 - 8 = -2. Etwas komplizierter ist die Situation beim Differenzmodul. Zuerst müssen Sie herausfinden, welcher Vektor das Ergebnis der Subtraktion sein wird. Zu diesem Zweck sollte der Vektor BA beiseite gelegt werden, der in die entgegengesetzte Richtung AB gerichtet ist. Zeichnen Sie dann den Vektor BC von seinem Ende aus und richten Sie ihn in die entgegengesetzte Richtung zur ursprünglichen. Das Ergebnis der Subtraktion ist der Vektor CA. Sein Modul kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Einfache Berechnungen führen zu einem Wert von 10 cm.

b) Die Summe der Moduli der Vektoren beträgt 14 cm. Um die zweite Antwort zu finden, ist eine Transformation erforderlich. Der Vektor BA ist dem gegebenen Vektor AB entgegengesetzt gerichtet. Beide Vektoren sind vom selben Punkt aus gerichtet. In dieser Situation können Sie die Parallelogrammregel verwenden. Das Ergebnis der Addition ist eine Diagonale und nicht nur ein Parallelogramm, sondern ein Rechteck. Seine Diagonalen sind gleich, was bedeutet, dass der Modul der Summe derselbe ist wie im vorherigen Absatz.

Antwort: a) -2 und 10 cm; b) 14 und 10 cm.

Ein geometrischer Vektor ist ein gerichtetes Segment. Zur Beschreibung von Vektoren wird die Notation verwendet; .

Die Länge eines Vektors ist der Abstand zwischen dem Startpunkt und dem Endpunkt des Vektors. Wir bezeichnen die Länge des Vektors mit oder einfach AB, a.

Ein Vektor heißt Null, wenn Anfang und Ende zusammenfallen. Ein solcher Vektor hat keine Richtung, seine Länge ist Null, er wird als bezeichnet.

Vektoren heißen kollinear, wenn sie auf derselben Geraden oder auf parallelen Geraden liegen. Dies wird als bezeichnet.

Vektoren heißen koplanar, wenn sie in derselben Ebene liegen.

Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie kollinear sind und die gleiche Länge und Richtung haben.

Ein freier Vektor ist ein Vektor, der parallel zu seiner Richtung im Raum verschoben werden kann.

Beachten Sie, dass der Ursprung eines freien Vektors mit jedem Punkt im Raum kombiniert werden kann.

Im Folgenden beschäftigen wir uns ausschließlich mit freien Vektoren.

Lineare Operationen an Vektoren und ihren Eigenschaften

Lineare Operationen an Vektoren sind die Addition von Vektoren und die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.

Die Summe zweier geometrischer Vektoren wird als Vektor bezeichnet und kann entweder nach der Dreiecksregel oder nach der Parallelogrammregel konstruiert werden.

1. Nach der Dreiecksregel

Durch Parallelübertragung kombinieren wir das Ende des Vektors mit dem Anfang des Vektors. Dann wird die Summe + der Vektor genannt , dessen Anfang mit dem Anfang des Vektors und dessen Ende mit dem Ende des Vektors zusammenfällt.

2. Nach der Parallelogrammregel

Durch parallele Übertragung kombinieren wir den Anfang des Vektors und den Anfang des Vektors. Vervollständigen wir das Parallelogramm an den Enden der Vektoren. Wir nennen die Summe der Vektoren den Vektor, der die Diagonale des Parallelogramms darstellt, dessen Anfang mit dem Anfang der Vektoren zusammenfällt und .

Eigenschaften der Vektoraddition.

1. Kommutativität

2. Assoziativität

3. Die Existenz eines Nullvektors, so dass

4. Für jeden Vektor gibt es einen entgegengesetzten Vektor (), so dass

Mithilfe der Eigenschaften der Vektoraddition ist es auch möglich zu beweisen, dass es für jeden Vektor einen Vektor gibt, der, wenn er addiert wird, einen Vektor ergibt.

Ein solcher Vektor wird als geometrische Differenz von Vektoren bezeichnet und:

Das Produkt eines Vektors und einer reellen Zahl ist ein Vektor mit einer Länge, die dem Produkt der Zahlen entspricht, und einer Richtung, die mit der Richtung des Vektors if übereinstimmt, und der entgegengesetzten Richtung if.

Eigenschaften des Produkts eines Vektors und einer Zahl.

5. Assoziativität von Faktoren

6. Distributivität der Summe der Vektoren bezüglich der Multiplikation mit einer reellen Zahl

7. Distributivität bezüglich der Summe der Zahlen

8. Existenz der Zahl 1, die bei Multiplikation den Vektor nicht verändert

Alle acht Eigenschaften linearer Operationen werden aus geometrischen Eigenschaften von Vektoren abgeleitet.

Sie können es anders machen. Verwenden Sie diese acht Eigenschaften als Grundlage für die Definition von Vektoren.

Definition.

Jede Menge von Objekten, für die die Gleichheitsbeziehung eingeführt wird, sowie die Operationen der Addition und Multiplikation mit einer Zahl, die die Eigenschaften 1–8 erfüllen, werden aufgerufen linearer Vektorraum.

Die Elemente eines solchen Raumes heißen Vektoren oder Punkte dieses Raumes.

Beispiele für lineare Vektorräume

1. Die Menge aller geometrischen Vektoren.

2. Die Menge aller reellen Zahlen. Bezeichnen wir es oder .

3. Die Menge aller möglichen Paare reeller Zahlen. Bezeichnen wir es.

Seien = und = Elemente dieser Menge. Wir nennen die Zahlen und Koordinaten der Vektoren und . Vektoren und gelten als gleich, wenn ihre Koordinaten gleich sind, d.h. Und

Wir nennen die Summe der Vektoren einen Vektor mit den Koordinaten und.

Mit dieser Einführung linearer Operationen sind alle Eigenschaften 1–8 erfüllt und der Raum kann als linearer Vektorraum betrachtet werden.

4. Die Menge aller möglichen Mengen von n reellen Zahlen. Wir bezeichnen diese Menge mit . Die Elemente dieser Menge sind Zahlenmengen.

10.Skalarprodukt von Vektoren und seine Eigenschaften

Als nichtlineare Operationen an Vektoren betrachten wir das Skalarprodukt und das Vektorprodukt, die in Anwendungen am häufigsten vorkommen.

Wir nennen den Winkel zwischen zwei Vektoren einen Winkel, der p nicht überschreitet.

Wir bezeichnen den Winkel zwischen den Vektoren

Das Skalarprodukt zweier geometrischer Vektoren ist eine Zahl, die dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen entspricht:

Wenn, dann, weil ,

wenn, dann, weil ,

wenn, dann, weil .

a) Wir nennen die orthogonale Projektion eines Vektors auf die durch den Vektor angegebene Richtung die Zahl

b) Ebenso ist die Zahl = die orthogonale Projektion des Vektors auf die Richtung.

Aus der Definition des Skalarprodukts folgt dies

Folge.

Das Skalarprodukt zweier Nicht-Null-Vektoren ist genau dann gleich Null, wenn diese Vektoren orthogonal sind (der Winkel zwischen ihnen ist gleich).

Eigenschaften des Skalarprodukts.

Kommutativität

1) Assoziativität

2) Distributivität bezüglich der Summe der Vektoren

4) wenn und wenn

Die Eigenschaften 1-4 werden anhand der geometrischen Eigenschaften von Vektoren nachgewiesen.

Winkel zwischen Vektoren.

Wenn Sie die Längen der Vektoren und ihr Skalarprodukt kennen, können Sie den Winkel zwischen den Vektoren ermitteln. Tatsächlich, weil , Das

11. Vektorprodukt und seine Eigenschaften, Berechnung über Koordinaten

Das Vektorprodukt eines Vektors und eines Vektors ist ein Vektor (bezeichnen wir ihn), der Folgendes erfüllt Bedingungen.

Definition: Vektorgrafiken Ein geordnetes Paar von Vektoren a und b heißt ein Vektor, so dass

Eigenschaften eines Vektorprodukts:

Aussage 2: Im kartesischen Koordinatensystem (Basis ich, J, k), a=( x 1, Jahr 1, z 1), b=( x 2, Jahr 2, z 2}

=> [A,B] =

=

12. Gemischtes Produkt von Vektoren.

Definition: Gemischte Arbeit eines geordneten Tripels der Vektoren a, b und c heißt Zahl , inkl. =(,c).

Stellungnahme: =V A , B , C, wenn a,b,c ein rechtes Tripel ist, oder = -V A , B , C, wenn a,b,c ein Linkstripel ist. Hier V A , B , C– Volumen eines Parallelepipeds, das auf den Vektoren a, b und c aufgebaut ist. (Wenn a, b und c koplanar sind, dann ist V a, b, c =0.)

Aussage: In einem kartesischen Koordinatensystem, wenn a=( x 1, Jahr 1, z 1), b=( x 2, Jahr 2, z 2},

c=( x 3, Jahr 3, z 3}, => = .

Erstellungsdatum: 11.04.2009 15:25:51
Letzte Bearbeitung: 08.02.2012 09:19:45

Ich wollte diesen Artikel schon lange nicht mehr schreiben – ich habe darüber nachgedacht, wie ich das Material präsentieren soll. Sie müssen auch Bilder zeichnen. Aber anscheinend haben sich die Sterne heute gut ausgerichtet und es wird einen Artikel über Vektoren geben. Allerdings ist dies nur ein Entwurf. In Zukunft werde ich diesen Artikel in mehrere separate Artikel aufteilen – Material gibt es genug. Außerdem wird sich der Artikel nach und nach verbessern: Ich werde Änderungen daran vornehmen – weil... Sie werden nicht in der Lage sein, alle Aspekte auf einmal abzudecken.

Vektoren wurden im 19. Jahrhundert in die Mathematik eingeführt, um Größen zu beschreiben, die mit Skalarwerten schwer zu beschreiben waren.

Vektoren werden intensiv bei der Entwicklung von Computerspielen eingesetzt. Sie werden nicht nur traditionell zur Beschreibung von Größen wie Kraft oder Geschwindigkeit verwendet, sondern auch in Bereichen, die scheinbar nichts mit Vektoren zu tun haben: Speicherung von Farbe, Erzeugung von Schatten.

Skalare und Vektoren

Lassen Sie mich zunächst daran erinnern, was ein Skalar ist und wie er sich von einem Vektor unterscheidet.

Skalare Werte speichern eine Menge: Masse, Volumen. Das heißt, es handelt sich um eine Entität, die nur durch eine Zahl charakterisiert wird (zum Beispiel die Menge von etwas).

Ein Vektor wird im Gegensatz zu einem Skalar durch zwei Werte beschrieben: Größe und Richtung.

Ein wichtiger Unterschied zwischen Vektoren und Koordinaten: Vektoren sind nicht an einen bestimmten Ort gebunden! Auch hier kommt es bei einem Vektor vor allem auf seine Länge und Richtung an.

Ein Vektor wird durch einen fett gedruckten Buchstaben des lateinischen Alphabets gekennzeichnet. Zum Beispiel: A, B, v.

In der ersten Abbildung sehen Sie, wie ein Vektor auf einer Ebene bezeichnet wird.

Vektoren im Raum

Im Raum können Vektoren durch Koordinaten ausgedrückt werden. Aber zuerst müssen wir ein Konzept vorstellen:

Radiusvektor eines Punktes

Nehmen wir einen Punkt M(2,1) im Raum. Der Radiusvektor eines Punktes ist ein Vektor, der am Ursprung beginnt und am Punkt endet.

Was wir hier haben, ist nichts weiter als ein Vektor OM. Die Koordinaten des Anfangs des Vektors sind (0,0), die Koordinaten des Endes sind (2,1). Wir bezeichnen diesen Vektor als A.

In diesem Fall kann der Vektor wie folgt geschrieben werden A = <2, 1>. Dies ist die Koordinatenform des Vektors A.

Die Koordinaten eines Vektors werden als seine Komponenten relativ zu den Achsen bezeichnet. Beispielsweise ist 2 eine Vektorkomponente A relativ zur x-Achse.

Schauen wir uns noch einmal an, was die Koordinaten eines Punktes sind. Die Koordinate eines Punktes (zum Beispiel x) ist die Projektion des Punktes auf die Achse, d.h. die Basis einer Senkrechten, die von einem Punkt zu einer Achse gezogen wird. In unserem Beispiel 2.

Aber kehren wir zur ersten Zeichnung zurück. Hier haben wir zwei Punkte A und B. Die Koordinaten der Punkte seien (1,1) und (3,3). Vektor v in diesem Fall kann es wie folgt bezeichnet werden v = <3-1, 3-1>. Ein Vektor, der an zwei Punkten im dreidimensionalen Raum liegt, sieht folgendermaßen aus:

v =

Ich denke, hier gibt es keine Schwierigkeiten.

Multiplizieren eines Vektors mit einem Skalar

Ein Vektor kann mit Skalarwerten multipliziert werden:

k v = =

In diesem Fall wird der Skalarwert mit jeder Komponente des Vektors multipliziert.

Wenn k > 1, wird der Vektor größer; wenn k kleiner als eins, aber größer als null ist, nimmt die Länge des Vektors ab. Wenn k kleiner als Null ist, ändert der Vektor die Richtung.

Einheitsvektoren

Einheitsvektoren sind Vektoren, deren Länge gleich eins ist. Beachten Sie, dass der Vektor Koordinaten enthält<1,1,1>wird nicht gleich eins sein! Das Ermitteln der Länge eines Vektors wird weiter unten im Text beschrieben.

Es gibt sogenannte Einheitsvektoren – das sind Einheitsvektoren, deren Richtung mit den Koordinatenachsen zusammenfällt. ich- Einheitsvektor der x-Achse, J- Einheitsvektor der y-Achse, k- Einheitsvektor der z-Achse.

Dabei ich = <1,0,0>, J = <0,1,0>, k = <0,0,1>.

Jetzt wissen wir, was die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ist und was Einheitsvektoren sind. Jetzt können wir schreiben v in Vektorform.

v= v x ich+ v y J+ v z k, wobei v x , v y , v z die entsprechenden Komponenten des Vektors sind

Vektoraddition

Um die vorherige Formel vollständig zu verstehen, müssen Sie verstehen, wie die Vektoraddition funktioniert.

Hier ist alles einfach. Nehmen wir zwei Vektoren v1 = und v 2 =

v 1 + v 2 =

Wir addieren einfach die entsprechenden Komponenten zweier Vektoren.

Die Differenz wird auf die gleiche Weise berechnet.

Dies betrifft die mathematische Form. Der Vollständigkeit halber lohnt es sich zu überlegen, wie das Addieren und Subtrahieren von Vektoren grafisch aussehen wird.

Um zwei Vektoren hinzuzufügen A+B. Wir müssen den Anfang des Vektors ausrichten B und das Ende des Vektors A. Dann zwischen dem Anfang des Vektors A und das Ende des Vektors B Zeichne einen neuen Vektor. Zur Verdeutlichung sehen Sie sich das zweite Bild an (Buchstabe „a“).

Um Vektoren zu subtrahieren, müssen Sie die Anfänge zweier Vektoren kombinieren und einen neuen Vektor vom Ende des zweiten Vektors bis zum Ende des ersten zeichnen. Das zweite Bild (Buchstabe „b“) zeigt, wie es aussieht.

Vektorlänge und -richtung

Schauen wir uns zunächst die Länge an.

Die Länge ist der numerische Wert eines Vektors, unabhängig von der Richtung.

Die Länge wird durch die Formel bestimmt (für einen dreidimensionalen Vektor):

die Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Vektorkomponenten.

Eine bekannte Formel, nicht wahr? Im Allgemeinen ist dies die Formel für die Länge eines Segments

Die Richtung des Vektors wird durch die Richtungskosinusse der Winkel bestimmt, die zwischen dem Vektor und den Koordinatenachsen gebildet werden. Um den Richtungskosinus zu ermitteln, werden die entsprechenden Komponenten und Längen verwendet (das Bild folgt später).

Darstellung von Vektoren in Programmen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Vektoren in Programmen darzustellen. Sowohl mit Hilfe gewöhnlicher Variablen, was wirkungslos ist, als auch mit Hilfe von Arrays, Klassen und Strukturen.

Float-Vektor3 = (1,2,3); // Array zum Speichern eines Vektors struct vector3 // Struktur zum Speichern von Vektoren ( float x,y,z; );

Klassen bieten uns die größten Möglichkeiten zum Speichern von Vektoren. In Klassen können wir nicht nur den Vektor selbst (Variablen) beschreiben, sondern auch Vektoroperationen (Funktionen).

Skalarprodukt von Vektoren

Es gibt zwei Arten der Vektormultiplikation: Vektor- und Skalarmultiplikation.

Eine Besonderheit des Skalarprodukts besteht darin, dass das Ergebnis immer ein Skalarwert ist, d. h. Nummer.

Hier lohnt es sich, auf diesen Punkt zu achten. Wenn das Ergebnis dieser Operation Null ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht zueinander – der Winkel zwischen ihnen beträgt 90 Grad. Ist das Ergebnis größer als Null, beträgt der Winkel weniger als 90 Grad. Ist das Ergebnis kleiner als Null, ist der Winkel größer als 90 Grad.

Dieser Vorgang wird durch die folgende Formel dargestellt:

A · B= a x *b x + a y *b y + a z *b z

Das Skalarprodukt ist die Summe der Produkte der entsprechenden Komponenten zweier Vektoren. Diese. Wir nehmen die x-Werte zweier Vektoren, multiplizieren sie, addieren sie dann mit dem Produkt der y-Werte und so weiter.

Vektorprodukt von Vektoren

Das Ergebnis des Kreuzprodukts zweier Vektoren ist ein Vektor senkrecht zu diesen Vektoren.

A X B =